复数的欧拉公式

在复数域中,有个欧拉公式,是欧拉本人在研究虚数的时候发现的。

假定x是复数,则有下面的公式,即欧拉公式:

如果把π带入欧拉公式,则有:

看到这个式子虽然简单,但是却把欧拉数e, 圆周率π, 虚数i,计数的第一个数1,还有0, 外加乘法,加法、幂的运算组合在一起,是不是很神奇?

欧拉公式的证明在中学范围我还没有找到可行的方法,如果你学了微积分,这里给出一个证明。设复数z=cosθ+isinθ, 将其在复变范围内积分:

因此证明了欧拉公式。

如果学习了级数,还有一种证明方法,即将sinx 与cosx 展开成级数有:

带入z=cosx+isinx,

欧拉公式的几何解释为,单位圆在复平面的点的变化。即任何复数x可对应单位圆的一个转角ψ。

任何一个复数a+bi (a,b是实数,i是虚数)都可以写成r

, 这样带来复数运算的极大方便,即乘除运算,可进行幅角的加减,模的乘除。

欧拉公式能把实数领域的幂运算扩展到复数领域,读者自己可以证明:

由欧拉公式很容易推导出:

所以不难得出下面的公式:

在实数领域内cosx=2是不可能的,如果x是复数,利用上述式子有:

即对于任何整数k,

最后举一个用欧拉公式证明三角的和化积差的公式

因为:

所以有:

因此证明得出:

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