中考数学压轴题分析：矩形的旋转与线段数量关系

本文内容选自2021年嘉兴中考数学压轴题，题目以矩形旋转为背景，考查全等与相似的知识，题目比较经典，值得学习。

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【中考真题】

（2021·嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

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【分析】

探究1：此时AB与B′C′平行，易得相似与比例，设BC为x即可，根据相似求出结论。

探究2：证明线段相等，可以考虑全等或证等腰。本题易得∠ADB=∠D′AC′＝∠AD′M，因此连接DD′，可以得到∠ADD′＝∠AD′D，进而得到∠MDD′＝∠MD′D的结论。

探究3：本题比较难猜测结论。三条线段，要嘛满足和差关系，或者勾股，或者相似。由于∠D′AC′＝∠ADB，因此可以得到△PAN∽△ADN，进而得到AN²＝PN·DN，因此如果可以证明MN=AN即可。只需连接AM，证明为等腰，结论就出来了。

题目不难，但是不按套路出牌，挺好的一道题目。
【答案】解：[探究1]如图1，设BC＝x，

∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，
∴点A，B，D'在一条线上，
∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C'＝AB'＝AB＝1，
∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，
∵∠BAD＝∠D'＝90°，
∴D'C'∥DA，
又∵点C'在DB的延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴，
∴，
解得x1，x2（不合题意，舍去），
∴BC．
[探究2]D'M＝DM．
证明：如图2，连接DD'，

∵D'M∥AC'，
∴∠AD'M＝∠D'AC'，
∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，
∴△AC'D'≌△DBA（SAS），
∴∠D'AC'＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠AD'M，
∵AD'＝AD，
∴∠ADD'＝∠AD'D，
∴∠MDD'＝∠MD'D，
∴D'M＝DM；
[探究3]关系式为．
证明：如图3，连接AM，

∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，
∴△AD'M≌△ADM（SSS），
∴∠MAD'＝∠MAD，
∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴MN＝AN，
在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，
∴△NPA∽△NAD，
∴，
∴，
∴．