拉斐尔的数学密码｜左图右史
拉斐尔《雅典学园》（1511），湿壁画，现存梵蒂冈教皇签字厅撰文 | 刘 钝（清华大学科学史系教授） 蒋 澈（清华大学科学史系博士后）责编 | 邸利会● ● ● 《雅典学园》（The School of Athens）是文艺复兴盛期艺术大师拉斐尔（Raphael，1483-1520）的杰作，完成于1511年。 画面置身于一个拱顶大厅中，外观类似当时正在建设的圣彼得大教堂内一角，拱顶两侧的大理石雕像分别是代表光明的阿波罗和代表智慧的雅典娜。 画中有50来位人物，分布在柏拉图和亚里士多德为中心的四周，呈现了以古希腊为代表的西方古代文明传统——这一学术脉络从时间上延绵了一千多年、空间上跨越了欧亚非三大洲。 “学园” 指向这一文明传统，而不是单指柏拉图在雅典郊外创立的那所学校。最近有人称这幅画是 “17世纪以后被篡改为表现伪希腊哲学的”，那可真是无知者无畏了。
柏拉图在雅典郊外设立学园之地，阿坎德米遗址。（刘钝 摄）数，万物之源对于这幅名画，历来不乏研究者，画中主要人物的身份，除了少数几个形象有歧义外，大多已经确定 [1]。本文聚焦两个与数学有关的人物，以图像志（Iconography）的方法为其辨明正身—— 他们就是认为数是万物本原的毕达哥拉斯（Pythagoras,c.580-500 BC）与编纂完成《几何原本》的欧几里得（Euclid, 325-265 BC）。
Herrad of Landsberg,《七门自由艺术》（c.1180），原藏法国霍恩堡修道院。苏格拉底与柏拉图坐在哲学王的下面，四周是代表七种学艺的女神。不过，古希腊并没有名为 “数学” 的学科。柏拉图在《理想国》第7卷借苏格拉底之口讲出 “能将灵魂引导到真理” 的四门学艺，顺序是算术、几何、天文和音乐，又提到毕达哥拉斯主张天文（为眼睛而造）与音乐（为耳朵而造）是 “兄弟学科”。 西方学者一般把 “四艺” 溯源到毕达哥拉斯，尽管直到公元6世纪 Quadrivium这个词才出现在拉丁文献中。除此之外，还有三门更基础的文科学艺，分别是逻辑（雄辩术）、修辞与语法，相应的拉丁文 “三艺”（Trivium）则到公元8世纪才被使用。 古希腊文明的特征之一是高度崇尚理性，而数学是最能体现理性精神的了。在《雅典学园》中，两位古代伟大的数学家被安置在非常起眼的地方，也就是画面前端标出的左右两个几乎对称的方框内（见文首图）。
《雅典学园》中毕达哥拉斯及其周边人物位于左边方框中的毕达哥拉斯正在一本摊开的大书上写着什么。这个道具有悖历史——古希腊还没有这样装帧齐整的书籍或笔记本。不过这一细节无关宏旨，文艺复兴时代的作品中这类错误也比比皆是。 他身后是一位阿拉伯装束的人，正弯腰俯看毕达哥拉斯书写的文字，一只手放在胸前显出非常钦佩和虔诚的样子。他就是12世纪生于西班牙科尔多瓦的穆斯林学者伊本·鲁士德（Abū l-Walīd Muḥammad Ibnʾ Aḥmad Ibn Rushd, 1126-1198），因继承和发展亚里士多德学说而有名，其拉丁名字阿威罗伊（Averroes）在西方更为人知晓。 还有一位老者蹲在毕达哥拉斯身后，一边探身窥看他的笔记，一边做着摘记。关于这个人物的身份有多种说法，我们认为最可能的是希腊-罗马文明在中世纪的传灯者波埃修（Boethius,c.477-524）。波埃修出身罗马望族，生当西罗马帝国灭亡、北方蛮族并起建立政权的乱世，被后人称为 “最后一位罗马哲学家” 和 “第一位中世纪经院哲学家”。他在逻辑、修辞、音乐、数学等方面均有著述，存世的有《音乐入门》、《算术入门》、《几何入门》（残）等，拉丁文 “四艺” 这个词就是他创造的。
《雅典学园》中毕达哥拉斯身后的阿威罗伊与波埃修
西班牙科尔多瓦城堡前的阿威罗伊像（图源：维基百科）
波埃修《哲学的安慰》，1385年意大利文抄本中的彩色插图（现藏格拉斯哥大学图书馆）。 另外还有一位站立着的黄衣人，也转过头来注视毕达哥拉斯的工作，他就是爱利亚学派的创始人巴门尼德（Parmenides,c.515-445 BC）。我们现在要把读者的注意力引到毕达哥拉斯左边蹲着的一个年轻人那里，他多半是毕老师的一位得意门生，手里扶着一块小黑板，这个小道具非常关键。小黑板画的是什么？不同于古代与中世纪画师需在人物身旁标出姓名，拉斐尔是通过服饰、神态、形体和小道具来显示画中人物的，例如柏拉图与亚里士多德，手中就分别拿着自己的作品《蒂迈欧篇》和《伦理学》。 以上提到的几位哲人，多少都与毕达哥拉斯有关，而最能说明这组群像的中心角色非毕达哥拉斯莫属的，就是他脚前的那块黑板了。 那块黑板上画的是什么？拉斐尔没有留下说明，当时的人们似乎也没有特别留意，连大名鼎鼎的瓦萨里（Giorgio Vasari,1511-1574）在他那本巨著《意大利艺苑名人传》中都没有提及。 直到1695年，另一位意大利画家兼艺术史家贝洛里（Giovanni Pietro Bellori,1613-1696），才在一本专门分析拉斐尔画作的书中给出清晰的线图，此时距拉斐尔创作《雅典学园》的时间已近两个世纪。 贝洛里的书名有点长，大致可译作《对乌尔比诺的拉斐尔所绘诸图像之记述》[2]。
Carlo Maratta《贝洛里像》（17世纪）（图源：维基百科）
西班牙科尔多瓦城堡前的阿威罗伊像（图源：维基百科）贝洛里是一位认真的作家，他的《当代画家、雕刻家与建筑师传记》，与瓦萨里的书齐名，是又一部早期西方艺术史专著。 他曾担任教皇克莱门特十世（Pope Clement X,1590-1676）的古物管理员，应该有机会近距离观察和临摹梵蒂冈宫签字厅内的《雅典学园》。从下图可以想见，贝洛里很可能站在梯子上或坐在高台上就近观摩壁画中的细节，从而临摹成清晰的线图来。
《雅典学园》所在的梵蒂冈宫签字厅内，左侧是拉斐尔同年完成的另一幅杰作《帕那索斯山》（1511）（图源：维基百科） 下图就是贝洛里书中给出的清晰线图，至今已经300多年了，但是有关的研究似乎不多，至少就我们眼界所及，尚未见到中文文字的介绍。原因很简单：一般来说，美术史专家与一般历史学家，没有能力解读图像的科学内涵；而对古希腊文明有所了解的科学史家和哲学家，几乎没有人不赞叹这幅名画的，却也忽略了对画面细节的追究。
贝洛里给出的《雅典学园》中毕达哥拉斯脚前画板上的图像。 现代人要想解读这幅图像或揭示拉斐尔的本意，需要像丹·布朗畅销书《达·芬奇密码》《本源》中的主人公兰登教授那样，对符号与数字敏感并具备古代文化的背景知识。好在贝洛里已为他的读者作了详细说明，我们在这里只是充当搬运工而已。星空响彻和谐的乐声贝洛里的线图可以分为上下两部分，我们先来看上半部：看似连通管一样的东西其实代表四根相互关联的里拉（lyre）琴弦，最上面的希腊文ΕΠΟΓΔΟΩΝ（epogdoon）表示大二度音程 M2（9:8）；第二排四个罗马数字6、8、9、12表示琴弦的长度；第三排的两个希腊单词都是ΔΙΑΤΕΣΣΑΡΩΝ（diatessaron）表示一个纯四度音程 P4（4:3）；第四排的两个希腊单词ΔΙΑΠΕΝΤΕ（diapente）表示一个五度音程 P5（3:2）；最下面的希腊文ΔΙΑΠΑΣΩΝ（diapason）表示一个八度音程P8（2:1）。不同音程的组合可以用简单的算术来表示，例如P5·P4 = P8，P5/P4 = M2。 一般认为，毕达哥拉斯（或以他命名的学派，以下不加区别）是西方研究和声的始祖。据说他们发现弦乐发出的声音取决于弦长，而两根长度成整数比的同质料绷紧的弦会发出谐音。他们又将音乐与算术结合起来，将和声的理论归结为简单的比例关系。[3] 例如，他们知道截取一根弦的2/3可以得到一个五度音，截取同一根弦的一半可得到一个八度音，由此得到一个 “和谐比例”（Harmonic proportion），这是因为1:1/2 = (1-2/3):(3/2-1/2)。[4] 他们还把行星的运动与音乐联系起来，认为天体在空间运动会发出声音，越远的行星移动速度越快发出的声音也越高，整个星空响彻着和谐的乐声。这一思想深刻地影响了欧洲后来的天文学家如开普勒（Johannes Kepler,1571-1630）等人。下图是俄罗斯画家布罗尼科夫（Fyodor Bronnikov，1827-1902）描绘的毕达哥拉斯及其门徒在和谐的乐声中迎接日出的场景。
布罗尼科夫《毕达哥拉斯赞美日出》（1869） 现藏莫斯科特列季亚科夫画廊几何形数现在来看贝洛里线图的下部分：那是罗马数字1堆砌的一个三角形以及表示其和的罗马数字10，也就是毕达哥拉斯学派所说的几何形数。 最简单的几何形数就是下图所示的三角形数，它们依次为1、1+2、1+2+3、1+2+3+4 …，第n个三角形数是 1+2+3+…+n = (2/n)(n+1)
毕达哥拉斯的三角形数 他们特别喜欢第四个三角形数，因为它的三边数字之和是4，而毕达哥拉斯学派认为自然是四元性的，例如几何学中的点、线、面、体，构成物质世界的土、水、气、火四种元素等，他们用一个抽象的概念 “四象”（tetractys）加以概括。 第四个三角形数10在毕达哥拉斯学派那里更有特殊的意义，他们相信10是一个理想数目，代表整个宇宙，可由10种对立统一的范畴来描述，即奇与偶，一与多，左与右，直与曲，正方与长方，有界与无界，雄与雌，善与恶，动与静，光明与黑暗。 晚期毕达哥拉斯学派断言移动的天体共有10个，宇宙的中心是一团火球（非火星），地球、太阳、月亮、五大行星，以及恒星所在的天球都围绕它旋转，这样一共是9个球，还有一个反地球（counter-earth）位于中心火球的另一面以相同于地球的速度旋转，因此地球上的人看不见它。[5] 古希腊没有中国、印度那样好的记数制度，因此毕达哥拉斯的几何形数在某种程度上扮演着代数与数论的作用。下面是美国数学史家莫里斯·克莱因《古今数学思想》中给出的更多例子。
毕达哥拉斯的正方形数 正方形数，依次为1, 4, 9, 16 … n2。如上图在某个正方形数内画一条斜线，可知两个相邻的三角形数之和等于一个正方形数，即 (n/2)(n+1)+[(n+1)/2](n+2) = (n+1)2
毕达哥拉斯的矩形数 如上图在正方形数内画一条成直角的折线，折线内侧是一个正方形数，外侧就是相应的矩形数，可以看出 n2+(2n+1) = (n+1)2 和1+3+5+…+(2n-1) = n2
毕达哥拉斯的五边形数
毕达哥拉斯的六边形数还有多边形数，如上图的五边形数和六边形数。第n个五边形数是1+(1+3)+(1+2·3)+(1+3·3)+…= (3n2-n)/2 第n个六边形数是1+(1+4)+(1+2·4)+(1+3·4)+…= n(2n-1)
法国沙特尔市大教堂西门入口处的毕达哥拉斯浮雕。（图源：维基百科）阿基米德，还是欧几里得？现在我们来看右边方框中的群像，其中心是一个弯着腰在地面黑板上画图的秃顶长者。一般认为，这一形象的模特是拉斐尔的年长朋友布拉曼特（Donato Bramante, 1444-1514）。 布拉曼特是意大利当时最杰出的建筑家之一，曾被教皇朱利叶斯二世（Pope Julius II,1443-1513）委任为圣彼得大教堂重建工程的总监，他的主要竞争者是米开朗基罗（Michelangelo,1475-1564）。在艺术上他当然不是后者的对手，因此极力推荐年轻的拉斐尔前来罗马，为教皇的图书馆绘制包括《雅典学园》在内的诸多大型壁画。
布拉曼特。（图源：维基百科） 尽管被布拉曼特提携并受到挑唆，拉斐尔对米开朗基罗极为佩服，特别是在目睹后者在圣西斯廷礼拜堂绘制的巨型穹顶画（当时尚未全部完成）之后，《雅典学园》中的赫拉克利特（Heraclitus,c.535-475 BC）就是仿照米开朗基罗的模样绘制的。 米开朗基罗生性孤傲，当时他被教皇及其下属的各种要求搅得心烦意乱，一面还要承担圣彼得大教堂工程的繁重任务，因此在凡人眼中是个脾气暴躁落落寡合的人。 拉斐尔在《雅典学园》中以米开朗基罗的形象画赫拉克利特，不知是自己亲身体验的一种宣泄，还是受到布拉曼特的影响。下面是《雅典学园》中的赫拉克利特，旁边是米开朗基罗的弟子沃尔特拉（Daniele da Volterra,c.1509-1566）为他作的画像。
《雅典学园》中的赫拉克利特
沃尔特拉《米开朗基罗》（c.1544），现藏纽约大都会博物馆关于画中弯腰画图的人，有些人认为是公元前三世纪的数学家阿基米德（Archimedes,287-212 BC），包括贝洛里都持这种看法。但是多数专家认为是更早一点的欧几里得。至于这个人物的面部造型，有人认为很像布拉曼特，如果此说成立，那就是拉斐尔对介绍自己到梵蒂冈教廷来的伯乐的回报吧?
《雅典学园》中的欧几里得及其青年弟子。 再看这位秃顶大师身前的四个年轻人，姿态不同，神情各异，很可能象征着学习几何学的四个阶段：跪在前方的少年似乎是个初学者，正全身贯注地盯着黑板上的图形；身后那位一手轻抚其后背，一手伸出食指，好像是在追随导师的思路；当中那位猛然抬起头看着同伴，似乎突然间领悟到解题的关键；上面那位神情淡定地望着黑板，显得比其他三人更加自信，表明已经发现了真理。我们认为，编纂《几何原本》的欧几里得更接近数学教师这一身份，因此画中人应该是欧几里得。 至于欧几里得在小黑板上画的是什么，贝洛里在《记述》中给出了如下左方的图像，右边则是我们重构的几何图形：两个相互叠合而方向颠倒的正三角形，如同犹太人的“大卫之星”一样。 它看上去像一道普通的平面几何练习题，图中包含多个大小不一的正三角形和一类特殊的直角三角形，通过添加辅助线不难构造出更多的几何关系，例如分别连接AB与CD，求证线段AB与CD平行且相等。从内容上来看，这应该属于欧几里得几何学的前几章；而阿基米德的数学主要涉及一些当时高深的问题，如曲边形围成的面积、旋转体的体积等。不过此图不见于欧几里得的《几何原本》，当然也不见于阿基米德的数学著作，很可能是拉斐尔自己的创作或从其他几何学小册子中临摹过来的。
贝洛里给出的《雅典学园》中欧几里得脚前画板上的图像
重构的《雅典学园》中欧几里得脚前画板上的图仔细观察贝洛里给出的图形，我们发现那并不是严格意义上的“大卫之星”。实际上，那是一对全等的、反向交叉的等腰三角形，但不是正三角形。贝洛里生活在壁画完成不算过于久远的年代，他也具备近距离观摩甚至临拓的条件，如果排除印刷引起变形这种可能，那么这块小黑板上的几何关系就更加复杂了。实际上，已经有人在等腰三角形的假设下讨论过这一道具与布拉曼特乃至整幅画面背景的关系 [6]。为了聚焦论题和突出欧几里得几何学的教育意义，本文暂时沿用 “大卫之星” 的图示。和声图案是拉斐尔的创造？拉斐尔的父亲是乌尔比诺宫廷礼仪官，本人也算是一个画家。拉斐尔在绘画上的真正导师是佩鲁吉诺（Pietro Perugino,1446/1452-1523），但是不久他的技艺就超过了师傅。1508年拉斐尔被招到梵蒂冈教廷的时候，佩鲁吉诺也在为朱利叶斯二世作画，教皇甚至让拉斐尔涂掉佩鲁吉诺刚完成的作品放手创作。 可以说，拉斐尔在幼年与学徒阶段就感触到人文主义思潮的脉动。但是他毕竟不是大学里培养出来的学者，而创作像《雅典学园》那样的巨型历史壁画，对于一个20多岁的青年画师来说是一个艰巨的挑战。 教皇朱利叶斯二世要求拉斐尔分别以 “神学”、“法学”、“诗学” 和 “哲学” 为题，在自己图书馆的四面墙上绘制装饰壁画，这就是后来完成的《圣礼辩论》（1509-1510）、《三德颂》（1511）、《帕纳索斯山》和《雅典学园》。 如同《雅典学园》一样，前面三幅画中也都包含大量历史人物与当代文人：教皇、主教、教父学者、帝王、诗人、作家、画家、音乐家等，当然也混杂着《圣经》和神话中的人物。 幸运的是，他的主顾朱利叶斯二世是一位热爱历史和艺术的人，被认为是罗马天主教会史上最有作为的25位教皇之一。正是他开启了圣彼得大教堂的重建工程，先后任用布拉曼特、米开朗基罗、拉斐尔等人从事美化梵蒂冈的工作。 而教皇的私人顾问红衣主教毕别纳（Cardinal Bibbiena, 1470-1520）更是一位卓越的人文主义学者。毕别纳极为赏识拉斐尔的才华，还把自己的侄女许配给他。1513年朱利叶斯二世去世后，毕别纳当年的学生、美第奇家族的利奥十世（Pope Leo X，1475-1521）继承圣座，后者对拉斐尔宠爱有加，将圣彼得大教堂与梵蒂冈宫内的更多装饰工作交付给他。
拉斐尔《教皇朱利叶斯二世》（c.1512）现藏佛罗伦萨乌菲齐美术馆
拉斐尔《教皇利奥十世与红衣主教们》 (c. 1518) 现藏佛罗伦萨乌菲齐美术馆我们推测，在创作《雅典学园》等大型壁画的时候，毕别纳甚至朱利叶斯二世提供了一定的参考意见，特别是有关人物的特征和历史背景方面。不过就本文而论，我们最关心的还是毕达哥拉斯面前那块画板上的图形，特别是有关和声的那个图案的来源，它是拉斐尔自己绘制的，还是另有所本？
拉斐尔《红衣主教毕别纳》（c.1516），现藏佛罗伦萨皮蒂宫 毕达哥拉斯没有著作流传下来，后人提到的毕达哥拉斯或其学派的许多工作，大多由菲洛劳斯（Philolaus, c.470-c.385 BC）、柏拉图、亚里士多德、尼可马库斯（Nicomachus of Gerasa, c.60-c.120 AD）、波埃修等人的记载所保存。尤其是被称为新毕达哥拉斯学派代表人的尼科马库斯，通过《算术入门》与《和声手册》两部书，详尽介绍了几何形数与和声理论并将它们溯源至毕达哥拉斯。不过两书皆以希腊文写成，在拉斐尔那个时代拉丁译本不会十分普及。伽弗里奥与拉斐尔伽弗里奥（Franchino Gaffurio, 1451-1522）是拉斐尔同时代的著名作曲家和音乐理论家，有很强的人文主义意识，与当时欧洲许多有名的音乐家均有来往。他也是意大利人，比拉斐尔大30来岁。达·芬奇（Leonardo da Vinci, 1452-1519）有一幅题为《音乐家》的肖像画，专家们认为画中人就是伽弗里奥。 伽弗里奥1492年出版的《音乐理论》，对从古希腊直到文艺复兴时代的和声理论作了详尽论述，其中特别提到毕达哥拉斯将音乐归于数学的思想 [7]。
达·芬奇《音乐家肖像》（1490）现藏米兰安波罗修美术馆
伽弗里奥另一本关于和声的书（米兰，1508）中的插图 图源：Alamy Stock Photo下图是伽弗里奥《音乐理论》中的一幅插图，描绘毕达哥拉斯发现和声与数字关系的场景。插图共分四部分。
伽弗里奥《音乐理论》中有关毕达哥拉斯与和声的插图左上角表现毕达哥拉斯经过一个铁匠铺，发现不同重量的锤子在铁砧上敲击发出悦耳的声音，进而领悟和声奥秘的传说。专家们指出，这一后人杜撰的传说不足为信，因为凭铁锤的重量是无法确定音程的。 另外三个画面分别表示毕达哥拉斯通过敲击编钟和盛水容器、调弄六弦琴、吹奏律管等方法来确定音程的故事，画面中都有4、6、8、9、12、16这六个数字，它们对应不同器物的长度、重量或体积（高度）。 我们推测，拉斐尔看过伽弗里奥的书，《雅典学园》中毕达哥拉斯身前画板上的图案，很有可能受到上图的启发。杰出的人文主义学者通过《雅典学园》这幅画与本文的分析，我们可以断言：尽管受到教皇及其亲密幕僚的青睐，拉斐尔并不排斥异教智慧；他对古代希腊、罗马和中世纪的文化历史有浓厚兴趣，同时也崇拜当代的人文主义大师；他对算术、几何、天文和音乐都有一定的了解，有高人指点可以运用、或自己就具备一定的拉丁文与希腊文知识。
拉斐尔自画像与藏身于《雅典学园》中的拉斐尔科学史家喜欢说，近代科学是文艺复兴以来学者与高级工匠这两大传统密切融合的结果，他们中的多数人也会把当时的建筑师与画家视为第二种传统的代表；但是在15世纪一些天才人物面前，如布鲁内莱斯基（Filippo Brunelleschi，1377-1446）、弗朗切斯卡（Piero della Francesca，c.1415-1492）、达·芬奇、丢勒（Albrecht Dürer，1471-1528）等，这种两分传统似乎就不灵了，我们很难说他们只是高级工匠而不是学者。 80后小生拉斐尔何尝不是如此？通过《雅典学园》等作品，他已显示出一个杰出人文主义学者具备的大气象。
（原题“《雅典学园》中的毕达哥拉斯和欧几里得”，刊《数学文化》2019年第10卷第2期，微信版略有增补。）
参考文献[1] Dussler, Luitpold. 1971. Raphael: a critical catalogue of his pictures, wall-paintings and tapestries. London and New York: Phaidon. 更方便的检索可见：Lahanas, Michael. The School of Athens, Who isWho? Seehttp://www.hellenicaworld.com/Greece/Science/en/SchoolAthens.html[2] Bellori, G. P. 1751. Descrizione delleimagini dipinte da Rafaelle d Urbino. Roma.[3] Ferguson, Kitty.2008. The Music of Pythagoras: How an Ancient Brotherhood Cracked the Codeof the Universe and Lit the Path from Antiquity to Outer Space. New York:Walker & Company. pp.62-67.[4] Smith, David E.1923. History of Mathematics. Vol.1. New York: Dover Publications.pp.75-76.[5] 克莱因著. 张理京等译. 1979. 古今数学思想. 第1册. 上海：上海科学技术出版社.[6] Valtieri, Simonetta. 1972. La Scuola d Atene, 'Bramante'suggerisce un nuovo metodo per costruire in prospettiva un architetturaarmonica. Mitteilungen des Kunsthistorischen Institutes in Florenz. 16.Bd. H. 1. pp. 63-72.[7] Gaffurius,Franchinus. 1492. Theorica musicae. Milan. 此书有多种不同文字的现代译本。本文2019年10月20日首发于《知识分子》（ID：The-Intellectual），经授权转载，如需二次转载请联系原作者。知识分子由非营利公益组织北京市海淀区智识前沿科技促进中心主办，以传播科学知识、弘扬科学精神、促进科学文化为使命，致力于关注科学、人文、思想。