（26）冷轧钢(CFS)住宅设计——选型法
7.3.2计算法
这一部分是采用美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）（即允许应力设计，ASD）计算托梁的允许跨度，其它构件的设计计算，读者可以参阅《低层轻钢骨架住宅设计——工程计算》一书。
7.3.2.1第一层楼层托梁设计
针对610mm中心间距的203S41-1.37单跨度托梁，支撑着1915N/m2的活荷载加479N/m2的静荷载，采用《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）的规定，计算其允许的跨度。用楼层覆盖物侧向限制托梁的受压边缘。
⒈截面图（见图7.3-1）
图7.3-1
⒉ 截面特性参数
下面为203S41-1.37C型钢的截面特性（来自《低层轻钢骨架住宅设计、制造与装配》一书的截面特性表2.2-4）：
总面积：A=4.32cm2
静面积：A0=A-Dt=4.32-3.8×0.144=3.77cm2
孔宽度：D=3.8cm
孔长度：L=102mm
剪力中心到质心的距离：X0= -2.37cm
转动惯量：Iy=8.08cm4
转动惯量：Ix=238.78cm4
截面模数：Sx=23.5cm3
St. Venant扭转常数：J=29.77×10-3cm4
扭曲扭转常数：Cw=674cm6
回转半径：Rx=7.43cm
Ry=1.37cm
回转极半径：R0=7.92cm
扭转弯曲常数：β=0.911
允许弯矩：Ma=3594N-m
允许剪力：V=8925N
⒊计算参数
设计厚度：t=1.44mm
最小未镀层交付厚度：t0=t×0.95=1.44×0.95=1.37mm
内侧弯曲半径：R=2.16mm
腹板直线宽度：a0=d-2(R+t)=203-2×(2.16+1.44)=195.81mm
边缘直线宽度：b0=b-2(R+t)=41-2×(2.16+1.44)=33.81mm
唇缘直线宽度：c0=c-(R+t)=12.7-(2.16+1.44)=9.104mm
弧长范围：μ=1.57(R+t/2)=1.57×(2.16+1.44/2)=4.52mm
中性轴半径：r=(R+t/2)=2.16+1.44/2=2.88mm
中性轴距离顶部的距离：Ycg=d/2=203/2=101.50mm
α=1
⒋面积
⑴总面积
A=t[a0+2b0+2c0+2π(R+t/2)]
=1.44[195.81+2×33.81
+2×9.104+2π×(2.16+1.44/2)]
=432mm2
=4.32cm2
⑵净面积
A0=A-A1
=A-Dt
=432-38×1.44
=377mm2
=3.77cm2
⒌每米重量
⑴每米总重量
ρ1=Aρ
=(432×10-6)×(7.85×103)
=3.388kg/m
⑵每米净重量
ρ10=A0ρ
=(377×10-6)×(7.85×103)
=2.958kg/m
⒍对X轴的总特性
⑴总转动惯量[美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）中的附录资料第1.2部分]
Ix=2t{0.0417a03+b0(a0/2+r)2
+μ(a0/2+0.637r)2+0.0149r3
+α[0.0833c03+(c0/4)(a0-c0)2
+μ(a0/2+0.637r)2+0.149r3]}
=2×1.44×{0.0417×195.813
+33.81×[(195.81/2)+2.88]2
+4.52×[(195.81/2)+0.637×2.88]2
+0.0149×2.883+1×[0.0833×9.1043
+(9.104/4)×(195.81-9.104)2+
4.52×(195.81/2+0.637×2.88)2
+0.149×2.883]}
=2377927mm4
=237.79cm4
⑵总截面模数
Sx=Ix/Ycg
=237.79/10.15
=23.428cm3
⑶回转半径
Rx=(Ix/A)1/2
=(237.79/4.32)1/2
=7.423cm
⒎对Y轴的总特性
⑴总转动惯量[美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）中的附录资料第1.2部分]
x’=(2t/A){b0(b0/2+r)+μ(0.363r)
+α[μ(b0+1.637r)+c0(b0+2r)]}
=(2×1.44/432){33.8`×[(33.81/2)
+2.88]+4.52×(0.363×2.88)
+4.52×(33.81+1.637×2.88)
+9.104×(33.81+2×2.88)}
=8.058mm
=0.8058cm
Iy=2t{b0(b0/2+r)2+0.0833b03
+0.356r3+α[c0(b0+2r)2+
μ(b0+1.637r)2+0.0149r3]}
-A(x’)2
=2×1.44×{33.81×[(33.81/2)
+2.88]2+0.0833×33.813
+0.356×2.883+9.104×(33.81+2×2.88)2
+4.52×(33.81+1.637×2.88)2
+0.0149×2.883]}-432×8.0582
=79693mm4
=7.969cm4
⑵总截面模数
xcg=x’+t/2
=0.8058cm+0.144cm/2
=0.878cm
Sy=Iy/xcg
=7.969/0.878
=9.079cm3
⑶回转半径
Ry=(Iy/A)1/2
=(7.969cm4/4.32cm2)1/2
=1.359cm
⒏扭转特性
⑴St. Venant扭转常数
J=(t3/3)[a0+2b0+2μ+α(2c0+2μ)]
=(1.443/3)×(195.81+2×33.81
+2×4.52+2×9.104+2×4.52)
=298.293mm4
=29.8×10-3cm4
⑵扭曲扭转常数
扭曲扭转常数是根据美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）中的附录资料第1.2.2部分公式9来计算，也可以从《低层轻钢骨架住宅设计、制造与装配》一书的截面特性表2.2-4中查得CW。
CW=674cm6
⑶回转极半径
从《低层轻钢骨架住宅设计、制造与装配》一书的截面特性表2.2-4中查得x0=-2.37cm。针对质心主轴计算截面的回转半径。
R0=(RX2+RY2+X02)1/2
=(7.4232+1.3592+2.372)1/2
=7.91cm
⑷扭转弯曲常数
β=1-(X0/R0)2
=1-(2.37/7.91)2
=0.910
⒐计算冷作硬化（冷轧加工）后的屈服强度σya：
当
σy=228MPa；
σu=310MPa；
θ=90°；
σyt=228MPa（原始屈服点）
因为
σu/σy=310/228
=1.36≥1.2
R/t=2.16/1.44
=1.497≤7
θ=90°≤120°
为了应用美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）中的公式A5.2.2-1，C型钢必须有一个压紧边缘，即ρ=1。对该部分，假定换算系数ρ=1。
则
m=0.192(σu/σy)-0.068
=0.192(310/228)-0.068
=0.193
Bc=3.69(σu/σy)-0.819(σu/σy)2-1.79
=3.69×(310/228)-0.819
×(310/228)2-1.79
=1.713
C=(2μ)/(2μ+b0)
=(2×4.52)/(2×4.52+33.81)
=0.211
σyc=Bcσy/(R/t)m
=1.713×228/(2.16/1.44)0.193
=361.301MPa
所以
σya=Cσyc+(1-C)σyf
=0.211×361.301+(1-0.211)×228
=256.101MPa
⒑计算有效截面特性
⑴计算转动惯量Ix
①参考美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）中的B4.2部分，计算边缘转动惯量Ia：
取
E=203×103MPa
f=257MPa（由于冷轧）
b0/t=33.81/1.44
=23.478＜60
c0/t=9.104/1.44
=6.322＜60
计算
S=1.28(E/f)1/2
=1.28×(203×103/257)1/2
=36.037
S/3=36.037/3
=12.012
因为
S＞b0/t＞S/3
则适用于情况II
Ia/t4=399[(b0/t)/s-0.330]3
则
Ia=399t4[(b0/t)/s-0.33]3
=399×1.444×{[(33.81/1.44)
/36.037]-0.33}3
=57.004mm4
=57.004×10-4cm4
②计算全部边缘（唇缘）加强筋的转动惯量Is：
因为
c0/t=9.104/1.44
=6.322＜14（c0/t最大值）
则
Is=tc03/12
=1.44×9.1043/12
=90.548×10-4cm4
Is/Ia=90.548×10-4/57.004×10-4
=1.588
所以取
Is/Ia=1
因为
c/b0=12.7/33.81
=0.376
0.8＞c/b0＞0.25
则取
n=0.5
k=(4.82-5c/b0)(Is/Ia)n+0.43
=(4.82-5×0.376)×(1)0.5+0.43
=3.372
或
k=5.25-5c/b0
=5.25-5×0.376
=3.372
③根据美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）中的B2.1部分，取最小值（k=3.372）计算受压边缘的苗条（板薄）系数。
λ=(1.052/k1/2)(b0/t)(f/E)1/2
=(1.052/3.3721/2)×(33.81/1.44)
×(257/203×103)1/2
=0.478
因为
λ＜0.673
则
ρ=1
be=b0=33.81mm
受压边缘全部有效。
④根据美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）中的B3.2部分，计算边缘加强筋有效宽度：
取
k=0.43
c0/t=9.104/1.44
=6.322
保守取
f=σy=228MPa
苗条（薄板）系数为
λ=(1.052/k1/2)(c0/t)(f/E)1/2
=(1.052/0.431/2)×(6.322)
×(228/203×103)1/2
=0.340
因为
λ＜0.673
且
Is/Ia＞1
则取
Is/Ia=1
ce=c0(Is/Ia)
=9.104×1
=9.104mm
受压加强筋（唇缘）全部有效。
⑸ 检查腹板是否全部有效
因为
D/a0=38/195.81
=0.194＜0.4
所以可以用腹板总截面面积计算带孔腹板的Se。
结合全部要素来定位中性轴位置。假定腹板全部有效，顶部屈服强度为σya：
ycg=∑(Ly)/∑(L)
=304.198/29.970
=10.150cm
（离顶部边缘的距离）
由于受压边缘到中性轴的距离等于托梁深度的一半，假定受压应力为σya（也就是说，初始屈服是受压）。
■采用美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）中的B2.3部分检查腹板要素的
有效性。
因为
f1=σya(ycg-t-R)/ycg
=256.101×(101.5
-1.44-2.16)/101.5
=247.027MPa（受压）
f2= -σya(d-ycg-t-R)/ycg
= -256.101×(203-101.5
-1.44-2.16)/101.5
= -247.027MPa（受拉）
ψ=f2/f1
= -247.027/247.027
= -1
k=4+2(1-ψ)3+2(1-ψ)
=4+2×(1+1)3+2×(1+1)
=24
用f1取代f，并按照上面所述确定的k=24计算：
则
λ=(1.052/k1/2)(a0/t)(f1/E)1/2
=(1.052/241/2)×(195.81/1.44)
×(247.027/203×103)1/2
=1.019
因为
λ＞0.673
因此
ae=ρa0
ρ=(1-0.22/λ)/λ
=(1-0.22/1.019)/1.019
=0.770
ae=ρa0
=0.770×195.81
=150.714mm
腹板要素不是全部有效。
a2=ae/2
=150.714/2
=75.357mm
a1=ae/(3-ψ)
=150.714/(3+1)
=37.678
a1+a2=37.678+75.357
=113.035mm
根据有效截面计算出来的腹板受压部分长度
ace=ycg-(R+t)
=101.5-(2.16+1.44)
=97.904mm
因为
a1+a2＜ycg-(R+t)
腹板要素不是全部有效，腹板上允许的最大开孔尺寸是：
2(ace-a2)
=2×(97.904-75.357)
=45.094mm
中性轴距离顶部的距离
ycg=∑(Ly)/∑L
=304.198/29.970
=10.150cm
Ix’=Ly2+Il’-Lycg2
=4113.513+625.745
-29.970×10.1502
=1651.649cm3
转动慣量
Ix=Ix’t
=1651.649×0.144
=237.837cm4（按总截面计算出来的转动慣量是237.793cm4，查表获得的转动慣量是238.78cm4）
⑵计算有效截面模数
Sx=Ix/ycg
=237.837/10.15
=23.432cm3（按总截面计算出来的截面模数是23.428cm3，查表获得的截面模数是23.5cm3）
⑶计算名义弯矩
Mn=Sxσy
=23.432×256.101
=6001.016N-m
⑷计算允许弯矩Ma
Ma=Mn/Ω
=6001.016/1.67
=3593.42N-m（按总截面计算出来的允许弯矩是23.428cm3×256.101MPa/1.67=3592.775N-m，查表获得的允许弯矩是3594N-m）
⒒ 校核剪切能力
未冲孔腹板（腹板没有孔）参考美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）中的C3.2部分。
⑴按照美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）计算
因为
a0/t=195.81/1.44
=135.979＜200
取
Kv=5.34
计算
1.38(EKv/σy)1/2
=1.38×(203×103×5.34/228)1/2
=95.155
因为
135.979=a0/t
＞1.38(EKv/σy)1/2
=95.155
则未冲孔截面腹板承载能力
Fq=0.53EKvt3/a0
=0.53×203×103
×5.34×1.443/195.81
=8761.24N
采用未冲孔截面腹板承载剪力计算最大的无支撑跨越长度。
这儿w=无系数的均布荷载，或ASD荷载组合×610=(0.479+1.915)×610=1460.34N/m
L=2×8761.24/1460.34
=12m OK
由ICBO AC46方法计算203S41-1.37型钢构件冲孔腹板的允许剪力值。孔宽D=38mm，孔长102mm。位于腹板中心线上。
上面计算出未冲孔截面的203S41-1.37C型钢构件的允许剪力为8761.24N。
计算换算系数
qs=1-1.1(D/d)
=1-1.1×(38/203)
=0.794
带标准孔的截面抗剪承载能力
Fqk=qsFq
=0.794×8761.24N
=6956.42N
采用减少的名义剪力计算最大的无支撑跨越长度。
这儿w=无系数的均布荷载，或ASD荷载组合×610=(0.479+1.915)×610=1460.34N/m
L=2×6956.42/1460.34
=9.53m
⒓校核弯矩能力
根据规范计算或从《低层轻钢骨架住宅设计——工程计算》一书的表6.3-2中查得203S41-1.37的弯曲能力是：
①Ma=Mn/Ω，Ω=1.67，
相当
Φb=∑rL/ΩL
=[(1.2×0.479+1.6×1.915)]/
[1.67×(0.479+1.915)]
=1.52/1.67
=0.91
当按照美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）计算带有38mm孔（有效截面）托梁时，名义弯矩（弯曲）能力，Mn是6001.016N-m。
对于有顶部边缘侧向支撑的简支跨：
=5.734m
⒔校核挠度限制
对于活荷载，Δ=L/480
对于全荷载，Δ=L/240
带有分布荷载的简支跨度挠度方程式是：
式中
L：单跨长度（m）
Ix：有效转动惯量，237.837cm4=0.00000237837m4
ω：每平方米荷载，
全荷载挠度校核(0.479+1.915=)2.394kN/m2，
活荷载挠度校核为1.915kN/m2。
E：弹性模量，203×109N/m2。
托梁的中心间距是0.610m。
挠度限制：全荷载为L/240，或荷载为L/480。
15590×106kN/m2
=203×106kN/m2×384/5
求得
LTL=4.730m
LLL=4.044m
⒕校核腹板临界失稳能力
尽管在楼层托梁两端和集中荷载位置处都需要有腹板加强筋（因此，没有必要计算腹板临界强度），然而，下面楼层托梁腹板临界强度的计算示范了腹板临界方程式的应用。
未冲孔腹板（腹板没有孔）参考美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）中的C3.4部分。
美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）中的C3.4-1部分给出的公式适用于d/t＜200和R/t≤6。对于254S41-1.37C型钢，条款均满足。
假定支撑长度最小为38mm。
k1=(1/25.4)2×4448.222=6.895N
k=σy/228=228/228=1（注意该截面不能用冷轧加工后的屈服强度σya）（C3.4-21）
C3=1.33-0.33k=1.33-0.33×1=1.00（C3.4-12）
C4=1.15-0.15R/t=1.15-0.15×2.156/1.44=0.925（C3.4-13）
Cθ=0.7+0.3(θ/90)2=0.7+0.3×(90/90)2=1.0（C3.4-20）
计算单个腹板临界力
Fcr=k1t2kC3C4Cθ[179-0.33(d/t)][1+0.10(N/t)]（C3.4-1）
=6.895×1.442×1×1×0.925×1
×(179-0.33×203/1.44)
×(1+0.01×38/1.44)
=1539.92N
因为腹板上存在着孔，根据美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986），这个能力应该乘以腹板断裂缩减系数Rc。该例子属于没有加强肋的腹板，孔不在支撑长度范围内的端部一边荷载条件（荷载条件1）（图7.3-2，参见《低层轻钢骨架住宅设计——工程计算》第五章第五节）。
Rc=1.01-0.325（D/a0）
+0.083(x/a0）≤1.0（5.5-6）
假定的“x”值大于或等于229mm，因此，腹板断裂缩减系数：
Rc=1.01-0.325(38/195.81)
+0.083(229/195.81）
=1.04
所以，
取Rc=1，
乘上腹板断裂缩减系数Rc后的能力是：
RcFcr=1×1539.92N
=1539.92N
因为
wf=1539.92N/m
Fcr=Lmaxw/2
所以
L=1539.92×2/2219.668
=1.388m
对于跨度大于1.388m，1539.92N的结果能力小于乘上系数的临界荷载，因而，需要腹板加强肋。
按照美国钢铁协会《冷轧钢材结构构件设计规范》（AISI，1986）计算，最大允许托梁跨度是基于剪切、弯矩和挠度计算出来的最小跨度。所以结果跨度是4.044m（受活荷载挠度控制，在表5.3-1中查得的数据是4039mm）。