重庆市第一中学高2022届9月月考第21题:轨迹方程

渐一番风,一番雨,一番凉。还有什么比“水梭花”更令人惬意?
是的,再加点“般若汤”岂非更好?
我已知足,又何必贪。
“水梭花”即鱼的另一种说法,以荤饰食名。滚烫的鱼,寒冷的夜,颤动的舌尖刺激着味蕾,按捺不住的感觉,妙不可言。
我已分不清冷暖,也分不清曲线方程。也许曲线就是方程,方程就是曲线。曲曲线线,方方程程,绕来绕去,什么才是真谛?
不就是解析几何?
是的,解析几何。
不就是数学?
是的,数学。
不就是上帝?
是的,上帝。
不就是真谛?
真谛???
真谛就是逻辑,逻辑就是真谛。
一贯那么强词夺理。
其实你未必在乎真谛,也未必需要逻辑,顺水推舟能放逐到什么境地?
不是江河日下,就是春风得意。
也许都不是,而是无法掌控的现在,无法预知的未来。过去浑浑噩噩,现在继续蹉跎,还能剩下什么?
还剩下躯壳,剩下罗嗦,还有不合时宜,还有不知所措。
坚持,没勇气;放弃,不甘心;明白,做不到;糊涂,嫌烧脑。除了慌张迟疑,还有什么是至关重要?
反正不是鱼,反正不是曲线,反正不是方程,反正不是上帝。
答案确有一个,我不想说。
罗嗦到忍无可忍,劝退到无以复加。
只觉红尘未入梦,孤注一掷随我来。
真的明白,你为什么来?
真的明白,你又何必来。
来,我们看看教材。人教社A版高中数学,《曲线与方程》已被弱化。但似乎考试并不影响,依旧是风起云涌,如火如荼。
弱化理论当然不是为了命题挖坑,事已至此,往往事与愿违。
如果说曲线与方程(本质是一种充要条件)没有难度,那是自欺欺人。单就是概念中的纯粹性和完备性就足以烧脑,更何况五花八门的奇技淫巧。砍掉了,不能说普天同庆,至少也大快人心。
有什么好遗憾的,过几年,说不定就会失而复得。
没有什么是比失而复得更值得庆幸。
求轨迹方程的套路没有十种,也有八种,“交轨法”恰恰是不常考的那种。一旦出现,势必一鸣惊人。
所谓交轨法,即选择适当的参数表示两条动曲线的方程,将两方程中的参数消去得到动点的轨迹方程。交轨法难就难在消参,既要敏锐的洞察力,又要深厚的计算功底,瞄准了,整体变换,电光火石之间,一击可得。
瞄不准也没关系,硬解出P点坐标,代入P点的方程也未尝不可,只是运算量稍微大点而已。不知不觉,这已是另外一种方法——相关点法(代入法)。
没错,法2用到了椭圆的第三定义。
也有人称之为椭圆的“垂径定理”,叫什么都可以,东西还是那个东西——椭圆上任意一点(异于长轴端点)与长轴两端点连线的斜率之积为定值。
长轴端点可推广至任意关于原点(对称中心)对称的两点,说白了,就是椭圆的直径。
解析几何不就是坐标几何?
一切问题都要围绕着坐标进行,所以角度转化为斜率,斜率转化为坐标,一切都是那么理所当然。
还有什么需要提点的?
没有了。如果有,也无非是些鸡零狗碎,诸如斜率是否存在。
坦率讲,第二问并不出彩,所以定比点差法无疑是牛鼎烹鸡。
定比点差法,又是定比分点,又是点差法,听着名字都洋气。但我既不推崇,也不回避。推崇,会陷入无休无止的争论;回避,将错失出奇制胜的法宝。最好的办法是借坡下驴。
关于定比点差法,没有更多可说的?
没有。我们不是在讨论数学,我们只是在穿插数学。
你一定想知道,法3怎么可以如此荒唐,又如此出神入化。很遗憾,此处略过。一是说来话长,并非三言两语;二是即便你会,也未必得分。
那放在这里干嘛?滥竽充数?
不,是鱼目混珠。你看这鱼,它会不会疼?
如果鱼也有情绪,你还吃得下去?
没人吃鱼,吃的是“水梭花”。
2005年高考山东卷压轴题相当不错,将轨迹方程、三角函数、定点问题完美地融合,考查函数与方程、转化与划归,以及分类讨论的思想。即便放到当下,也丝毫不逊色。
此题横空出世,却非突如其来。它的的确确源自于教材,在习题的基础之上拓展延伸,熟悉而陌生。如今,这已变得稀松平常,照猫画虎,东施效颦,简直多如牛毛。可没有一道题能如此意犹未尽,余味无穷。
一点飞鸿影下,轻烟落日残霞,杯盘狼藉“水梭花”。
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