如何理解梯度下降法？
梯度下降法是用来计算函数最小值的。它的思路很简单，想象在山顶放了一个球，一松手它就会顺着山坡最陡峭的地方滚落到谷底：
凸函数图像看上去就像上面的山谷，如果运用梯度下降法的话，就可以通过一步步的滚动最终来到谷底，也就是找到了函数的最小值。
只是有一些凸函数，比如下面这个二元函数（该函数实际上是逻辑回归的经验误差函数，在监督式学习中确实需要求它的最小值）： 要求它的最小值点就需要解如下方程组：
这个方程组实在太复杂了，直接求解难度太高，好在 的图像就像一座山谷：
所以可以用梯度下降法来找到 的谷底，也就是最小值。
2.1 梯度向量
假设起点在 处，也就是将球放在 ：
它的梯度为 1 维向量： 这是在 轴上的向量，它指向函数值增长最快的方向，而 就指向减少最快的方向：
将 也看作 1 维向量 ，通过和 相加，可以将之向 移动一段距离得到新的向量 ： 其中 称为步长，通过它可以控制移的动距离，本节设 ，那么： 此时小球（也就是起点）下降到了 这个位置：
2.2 迭代
的梯度为： 继续沿着梯度的反方向走： 小球就滚到了更低的位置：
重复上述过程到第 10 次，小球基本上就到了最低点，即有 ：
2.3 梯度下降法
把每一次的梯度向量 的模长列出来，可以看到是在不断减小的，因此这种方法称为梯度下降法：
这也比较好理解，当最终趋向于 0 时有： 所以梯度下降法求出来的就是最小值（或者在附近）。
3.1 过小
如果设 就过于小了，迭代 20 次后离谷底还很远，实际上 100 次后都无法到达谷底：
3.2 合适
上面例子中用的 是较为合适的步长，10 次就差不多找到了最小值：
3.3 较大
如果令 ，这个时候会来回震荡（下图看上去只有两个点，实际上在这两个点之间来来回回）：
3.4 过大
继续加大步长，比如令 ，反而会越过谷底，不断上升：
3.5 总结
总结下，不同的步长 ，随着迭代次数的增加，会导致被优化函数 的值有不同的变化：
寻找合适的步长是个手艺活，在工程中可以将上图画出来，根据图像来手动调整：
往上走（红线），自然是 过大，需要调低
一开始下降特别急，然后就几乎没有变化（棕线），可能是 较大，需要调低
几乎是线性变化（蓝线），可能是 过小，需要调高
其图像及等高线如下（等高线中心的蓝点表示最小值）:
下面用梯度下降法来寻找最小值。
4.1 前进一步
设初始点为 ，此时梯度为： 令步长 ，那么下一个点为： 可以看到向最小值方向前进了一步：
4.2 迭代
同样的方法找到下一个点： 此时又向最小值靠近了：