基于Graf加法定律的竖向受荷双桩动力响应解析研究

王敏1, 2，刘齐建1, 2，刘欢1, 2，王剑波1, 2

(1. 湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410082；2. 湖南大学 建筑安全与节能教育部重点实验室，湖南 长沙 410082)

摘 要：基于桩土耦合作用，建立竖向受荷嵌岩双桩动力响应的解析计算模型。通过分离变量法，求解桩周土的动力响应，将桩基础的动位移用不同的局部坐标系表示。考虑桩土相互作用，利用Graf加法定理实现不同桩体局部坐标系的转换，得到双桩位移场的解析解，并将其推广至群桩的竖向振动分析。在验证本文方法正确性基础上进行参数分析。研究结果表明：双桩间距增加，桩间相互作用系数减小。桩的长细比越大，双桩桩间相互作用系数越大。桩周土刚度越大，双桩桩间相互作用系数越大。群桩基础中，随着桩间距增大，桩间相互作用系数逐渐减小；角桩相互作用系数最小，中间桩最大。

关键词：双桩；Graf加法定理；桩土相互作用；动力响应

桩基础作为一种重要基础形式，凭借其承载力高、稳定性好、沉降量小等优点，在海上平台、动力基础、铁路等工程中得到了广泛应用。由于其复杂的受力和边界条件，如何考虑群桩间桩−土−桩动力相互作用一直是研究的难点，这吸引了国内外学者广泛研究。目前，群桩动力响应的理论主要分为弹性理论法[1−3]、积分方程法[4]、有限元法[5−8]、Winkler地基模型[9−11]、平面应变模型[12−13]。基于弹性理论法，Kaynia等[1]提出了动力相互作用因子计算群桩动力基础。基于积分方程法，CHEN等[4]求解了半空间上双桩相互作用系数。Dowling等[5]基于有限元法研究了动载荷下群桩的动力特性。Gazetas等[9]提出了一种动力Winkler地基梁模型，进一步简化了群桩动力相互作用因子的计算。Anoyatis等[12]基于平面应变假定，将土层视为一系列薄层单元，提出了平面应变模型。在已有解析理论中桩土体系位移多用径向和竖向变量r和z表示，而忽略切向变量θ的影响。但是，不同于振动荷载下单桩轴对称性，群桩体系动力响应属于典型的三维问题。为了考虑桩土系统切向方向的影响，本文拟基于Graf加法定律建立一种双桩动力计算模型，并将之推广至群桩。首先对土体进行受力分析，将桩周土位移场用不同局部坐标系表示。然后运用Graf加法定理，实现不同桩体局部坐标系的转换，将不同坐标系下的位移统一得到双桩位移场解析解，并将该解答拓延至群桩基础的动力响应分析。

1 计算模型

如图1所示，2根受圆频率ω的竖向谐和动荷载

作用下的嵌岩桩。设桩局部坐标系分别为

，其原点位于桩顶中心。2桩长H，中心距s，直径dj，半径Rj，面积

，弹性模量为Epj，密度为ρpj，纵波波速

。土的密度为ρs，弹性模量为Es，泊松比为v，复Lamé常数为

和

，其中λs和Gs为Lamé常数，D为阻尼系数，土的剪切复波速

，剪切波速

。为表达方便，之后的表达式中省略时间因子

。本文采取以下计算假定：

1) 只考虑桩土系统竖向位移，忽略径向位移。

2) 桩周土与桩身紧密接触无滑移。

图1 计算模型

Fig. 1 Calculation model

2 求解方法

2.1 土的动力分析

取图1所示的土单元进行受力分析，其中应力σz，τrz和τθz可分别表示为：

(1)

(2)

(3)

式中：

为土体竖向位移。

土的竖向动力平衡方程为：

(4)

竖向谐和动荷载下，土的动力响应可表示为

，将其代入式(4)可得：

(5)

式中：

。

土的边界条件为：

因电子发票与纸质发票具有同等法律效力，如果公立医疗机构接受以电子发票替代纸质发票的方式，将大大减少空白纸质发票的使用。同时，电子发票的运用也可解决异地设仓企业票货难以同行的问题。

(6)

(7)

(8)

(9)

采用分离变量法并结合式(6)~(9)边界条件，可得式(5)解为：

(10)

式中：

为待定系数；

为修正第2类m阶Bessel函数；参数αn和qn分别由下式确定：

(11)

(12)

2.2 桩身动力分析

首先计算桩周土对桩身的摩擦力。如图1所示中，考虑双桩相互作用，在桩1和桩2顶部中心坐标系

和

处土的位移表达式分别为：

(13)

(14)

式中：w11为P1对桩1的作用位移；w12为P2对桩1的作用位移；w21为P1对桩2的作用位移；w22为P2对桩2的作用位移。

由图1可见，w11和w21由桩1荷载引起，可用局部坐标系

表示。w12和w22由桩2荷载引起，可用局部坐标系

表示。由式(10)，可将w11和w22分别表示为：

(15)

(16)

式中：Anm和Bnm为待定系数。

可以看出，式(13)与式(14)均包含了2个坐标体系，因此需将其统一到同一个坐标体系中。为此，采用Graf加法定律将Fourier-Bessel波函数由一个坐标系转换到另一个坐标系，如附录所示。联立式(15)～(16)和附录式(A1)，将w21和w12分别表示如下：

偶尔陪家人逛新华书店，万头攒动，总是少儿读物柜台。我翻一翻，不是青春小说，就是教辅书刊，再就是多少有哗众取宠之嫌的教子书：快乐学习、幸福成长、好成绩不如高智商，高智商比不上优等情商，情商不够要财商……大抵如此。

(17)

(18)

于是式(13)和(14)可分别采用同一坐标系表示：

(19)

(20)

沿桩身外荷载

可由桩顶荷载Pj展开[14]：

(21)

假定桩和土交界面处无滑移，则由桩土位移连续条件得：

(22)

式中：

为桩身竖向位移。

桩的竖向动力振动平衡方程为：

(23)

式中：

；

。

考虑函数

的正交性，将式(19)和(20)代入(22)，左右同乘

并在区间[0,H]上对

积分且取

可得：

(24)

式中：

为待定常数；

为：

小道不生蒿草，日本兵来时，让她躲身到地缝中去吗？她四面寻找，为了心脏不能平衡，脸面过量的流汗，她终于被日本兵寻到：

(25)

(26)

联合式(19)，(20)，(22)，(24)，(25)和(26)可得：

敢打必胜是陆军血性胆魄的生动写照，也是流淌在官兵血脉中最具活力的精神因子。建设强大现代化新型陆军，必须大力弘扬敢打必胜的精神品质，确保部队任何时候任何情况下都保持革命英雄主义的昂扬斗志。

(27)

将式(2)，(19)，(20)，(21)和(27)代入式(23)可得：

加快西部、少数民族及偏远贫困地区教育信息化建设教育信息化可以突破时空限制、加快知识传播、扩大资源覆盖、降低办学成本，对解决贫困地区学校的特殊困难、缩小教育发展差距、满足学生多样需求具有独特优势。从一定意义上讲，为贫困地区学校插上“信息化翅膀”，就能把优质教育资源输送到最需要的地方，贫困地区教育跨越发展就有了“加速器”。

(28)

(29)

式中：

。

在式(24)两边同乘

，并在区间

积分可得：

(1)从旅游业发展实力来看，安徽省16个地级市中，旅游业发展综合实力高于全省平均水平的有5个，依次是合肥市、芜湖市、安庆市、滁州市和黄山市，其他城市旅游业发展实力均低于全省平均水平．

(30)

联立求解式(28)~(30)组成的2n个线性方程组，由此可确定未知系数Anm和Bnm。计算时，需将级数n和m进行截断。

2.3 群桩分析

对于桩数N的群桩模型，按照叠加原理将双桩模型推广至群桩。在局部坐标系

下，土的位移

可表示为：

(31)

式中：

为桩j荷载

产生的位移。当j=l时，wjj为：

(32)

式中：jnm为待定系数。

当

时，运用Graf加法定理可求得

为：

综上所述，居住建筑的室内设计内容根据设计及装修的工种或步骤的分类比较重要，因此，本文将针对这种分类，将其余施工过程结合，进行第三部分的研究。

(33)

由桩身动力平衡方程可得：

(34)

式中：

；

为待定系数。

按照“2.2”同样的处理，可得到(j=1,2,…)

学困生缺乏对数学的学习兴趣：学困生难以学好数学的主要原因还是在于学习数学时的态度，大多数学困生会因为觉得数学学科枯燥乏味，因而在学习数学时会比较随意，往往在学习数学的过程中遇到难题就会丧失学习的兴趣。此外，还有的学困生因为在其他学科的学习成绩也比较落后，从而导致自信心的缺乏，认为自己不够聪明，学什么都学不好，面对数学更是产生了畏惧心理。

(35)

式中：

可见式(34)和(35)组成N´n个线性方程组，联立求解可确定未知系数jnm和lnm。

3 方法验证

为验证本文方法正确性，将其与文献[15]理论解及有限元结果进行对比，如图2所示。其中桩身自振频率

，wst为桩顶静力位移。有限元结果通过Ansys建模分析得到，其中桩土均采用SOLID45单元。模型尺寸为20 m´20 m´30 m，桩长H=20 m，直径d=0.8 m，桩间距s=1.6 m，桩弹性模量Ep=11.2 GPa，密度ρp=2 500 kg/m3。土弹性模量Es=30 MPa，密度ρs=1 500 kg/m3，泊松比v=0.4。采用黏弹性边界，网格尺寸0.3 m，分析区域共有25 162个单元。由图2可以看出，本文计算结果与文献[15]结果趋势一致，且与有限元结果吻合更加良好。

图2 双桩振幅值和相位滞后角随频率响应的变化

Fig. 2 Variation of the displacement amplitude and phase lag angle of two piles with the frequency

为进一步验证本文方法正确性，将其与文献[16]双桩竖向振动试验结果进行对比验证。取文献[16]参数如下：桩长27.5 m，直径0.6 m，间距2.5 m，桩身弹性模量Ep=25.5 GPa。土的弹性模量33.79 MPa，泊松比0.49，密度1 570 kg/m3，阻尼比0.05。激振力F=8.02f 2，f为激励频率。

应用SPSS 19.0软件分析本研究的所有数据，采用χ2检验计数资料，采用t检验计量资料，以P<0.05为差异有统计学意义。

图3给出了激励频率为0~15 Hz时基础−激振器竖向位移试验曲线与本文结果的对比。由图3可知，当频率较小时，计算值与试验值吻合良好。当频率增大时，计算值略大于试验值。这是因为当激励频率增大时，土的非线性特征逐渐明显，而本文仅考虑弹性地基，故有此误差。

图3 竖向频率响应曲线与实测曲线的比较

Fig. 3 Comparison between vertical frequency response curve and measured curve

4 桩间相互作用系数

定义桩间相互作用系数α为：双桩中某桩相对于另一根桩的附加沉降与单桩在相同荷载下引起沉降之比值：

目前的研究主要集中在抽油机载荷利用率的影响因素上，例如，随着冲程、冲速、动液面、泵径和泵挂深度的增加，抽油机载荷利用率成正比例线性增加，各项参数按照对抽油机载荷利用率的影响权重大小依次排序为：冲程、冲速、动液面、泵径和泵挂深度[1]。另外，合理的抽油机悬点载荷利用率对于抽油机选型也有重要的作用，有研究认为目前的抽油机选型公式，由于各油田生产状况的不同，需要对其进行修正，以得到符合该油田的抽油机选型公式，在统计分析的基础上对公式进行了优化，获得了修正系数，用以指导抽油机选型，优化后的公式准确率提高了5%左右[2]。

(36)

式中：

为竖向动荷载作用下单桩桩顶位移[17]。

图4给出了在不同频率和长径比下桩间相互作用系数随桩距的变化。由图4可知，当激励频率较低时，随着桩距增大，桩间相互作用系数α逐渐减小并趋向于0。这是因为此时桩基础振动产生的剪切波衰减快，其对桩周土影响范围不大，距离桩身越远，其对邻桩影响小，桩间相互作用系数α越小。桩长径比越小，荷载越易传递至基岩，其对桩周土影响越小，此时桩间相互作用系数α几乎为0。

当激励频率较大时，长径比较小桩的桩间相互作用系数α较小，而且衰减越快。与此不同的是，当长径比达到50以后，继续增加桩长，其对桩间相互作用系数α的影响不大。其原因是桩顶荷载对桩周土的影响主要集中在上部土体，当桩身长度达到一定值后，其振动对邻桩的影响不大。

图5给出了在不同频率和不同波速比vs/vp下，桩间相互作用系数α随桩距的变化。由图5可知，桩间相互作用系数α随波速比增大而增大。这是因为随着vs/vp增大，桩周土的刚度增大，其传播剪切波的能力提高，因此在桩基础振动时其对邻桩的影响就越大。

(a) ω=0.1ωp；(b) ω=0.5ωp

图4 不同长径比下桩间相互作用系数

Fig. 4 Interaction coefficient under different slenderness ratio

图5 双桩相互作用系数与波速比的关系

Fig. 5 Relationship between interaction coefficient and pile-soil wave velocity ratio

5 桩顶动刚度

定义无量纲桩顶动刚度

为：

(37)

式中：Kd和Kst分别为桩顶动刚度和静刚度。

图6给出了不同桩距时桩顶动刚度

随频率的变化。可见，在第1个截止频率之前，随频率增加，桩顶动刚度实部减小，其虚部增加有限。当超过截止频率后，实部增加，而虚部急剧增长。这说明在截止频率之前，土的振动损耗以材料阻尼为主；当振动频率超过截止频率后，则以辐射阻尼为主。

图6 桩顶刚度与桩距比的关系

Fig. 6 Pile stiffness with different spacing ratio

图7给出了不同桩长径比对桩顶动刚度影响。由图7可知，当频率较低时，不同长径比下桩顶动刚度开始变化不大；随着激励频率增加，长径比越大桩顶动刚度实部越大。在频率小于截止频率时，桩顶动刚度的虚部几乎为0，超过该截止频率后虚部急剧增加，此时辐射阻尼越来越大。当长径比较大时，桩身振动能带动更多土体振动，其辐射阻尼更大，导致其桩顶刚度的虚部越大。

图7 桩顶刚度与长径比的关系

Fig. 7 Pile stiffness with different slenderness ratio

6 群桩分析

6.1 2×2群桩

图8给出了在不同频率和不同桩长径比下,2×2群桩的桩间相互作用系数随桩距比的变化曲线。由图8可知，当桩间距越大时，其相互作用系数越小，其规律与图4所示的双桩相互作用情况类似。桩越长，其振动对桩间土的影响越大，导致相互作用系数越大。此外，激励频率越大，相互作用系数衰减越慢。

(a) ω=0.1ωp；(b) ω=0.5ωp

图8 2×2群桩桩间相互作用系数

Fig. 8 Interaction coefficients for 2´2 pile groups

(a) ω=0.1ωp；(b) ω=0.5ωp

图9 3×3群桩桩间相互作用系数

Fig. 9 Interaction coefficient of 3´3 pile groups

6.2 3×3群桩

图9分别给出了在不同频率下3×3群桩的桩间相互作用系数随桩距比的变化，其中桩1为角桩，桩2为边桩，桩3为中间桩。由图9可知，低频情况下随着桩间距离增大，桩间相互作用系数逐渐减小。同时可以发现，同样的低频激励下角桩的相互作用系数最小，除角桩外的边桩次之，而中间桩的最大。这是因为中间桩的四周都是桩基础，其所受其他桩的影响最大。

从初等教育开始一直到中等教育和高等教育，设置相关课程，让学生了解技术、了解职业，如劳动课、职业生涯规划课、就业指导课等。不仅只是在高等教育阶段，才将职业教育的知识灌输给学生，要让职业意识慢慢渗透各学科的教学。

当频率较大时，虽然相互作用系数变化较激烈，但是其规律与低频时基本一致，即相互作用系数在角桩处最小，中间桩最大。

7 结论

1) 双桩桩间距增加，桩间相互作用系数减小。

3.1 以供给侧改革为导向，优化资源配置 随着越来越多的社会企业积极参与特色小镇的建设，从顶层设计、金融支持、开发建设和运营管理等多个方面暴露出了当前我国特色小镇建设地产化、文化流失、布局不合理等诸多问题[10]。针对这些问题，在以供给侧结构性改革为导向下优化资源配置就显得尤为重要。

2) 桩长径比越大，双桩桩间相互作用系数 越大。

3) 桩周土刚度越大，双桩桩间相互作用系数越大。

4) 在第1个截止频率之前，随着频率的增加，双桩桩顶动刚度实部减小，其虚部增加有限。当超过截止频率后，实部增加，而虚部急剧增长。

5) 群桩基础中，随着桩间距离增大，桩间相互作用系数逐渐减小。同时，同样激励频率下角桩相互作用系数最小，除角桩外的边桩次之，而中间桩的最大。这是因为中间桩的四周都是桩基础，所受其他桩的影响最大。

附录

Graf加法公式常用于将波函数的Fourier- Bessel函数由一个坐标系转换到另一个坐标系。通过运用Graf加法定理，将桩j处坐标系土的位移转换到桩l坐标系中，从而求得桩j对桩l的作用位移。如图10所示，其公式具体表达如下：

(A1)

式中：

和

分别为坐标原点在oj和ol的2个极坐标系；

为ol相对于oj的极坐标，

为修正第一类u阶Bessel函数。

通过对武陵山场镇居民及周边村民的调查走访，大家对特色旅游小镇建设均有很高的积极性，在建设的过程中能充分反映民意，旅游、旅居者直接接触最多的就是小镇居民，民众的参与更能加深旅居者的归属感，同时民众也是小镇可持续发展的关键主体。

图10 Graf加法定理

Fig. 10 Graf’s addition theorem

参考文献：

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Dynamic response of two vertically loaded piles based on the Graf's addition theorem

WANG Min1, 2, LIU Qijian1, 2, LIU Huan1, 2, WANG Jianbo1, 2

(1. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;2. Key Laboratory of Building Safety and Energy Efficiency of the Ministry of Education, Hunan University, Changsha 410082, China)

Abstract: Based on the soil-pile interaction, an analytical method is proposed for dynamic response of vertically loaded end-bearing double piles. In terms of the separate variable method, the vibration of the surrounding soils was determined. Then, dynamic displacements of the respective piles were expressed in the light of different local coordinate systems. In order to obtain the expressions of the pile displacements in the same unified coordinate system, Graf addition theorem was adopted to transfer one kind of local coordinate system to the other. By considering the continuity along the soil-pile interface, the displacements of two piles were determined. The present solution was extended to the dynamic response of pile groups under the vertically loaded vibrations. The proposed method was verified by comparison of the present solution results with those by the available methods. Parametric study shows that with the increasing of the pile space distance, the interaction coefficient decreases. With the increasing of the pile slenderness ration and the stiffness of the surrounding soil, the interaction coefficient increases. For pile groups, the pile interaction coefficient decreases gradually with the increasing of the spacing ration of piles. The interaction coefficient of the pile on the corner is the minimum, while that of the pile at the center is the maximum.

Key words: two piles; Graf’s addition theorem; pile-soil interaction; dynamic response

中图分类号：TU473

文献标志码：A

文章编号：1672 − 7029(2020)10 − 2532 − 08

DOI: 10.19713/j.cnki.43−1423/u.T20191136

收稿日期：2019−12−16

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51878265)；湖南省自然科学基金资助项目(2018JJ2049)

通信作者：刘齐建(1973−)，男，湖南华容人，教授，博士，从事桩基、地下结构的抗震研究；E−mail: [e-mail]

(编辑 涂鹏)