中考数学压轴题分析：圆与三角函数

本文内容选自2021年荆门中考数学几何压轴题。题目以圆为背景，属于倒数第3题，难度一般。不过也是常考类型。

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【中考真题】

（2021·荆门）如图，在中，，点在边上，过，，三点的交边于另一点，且是的中点，是的一条直径，连接并延长交边于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）当时，求的值．

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【分析】

（1）平行四边形的判定，只需证明两组对边分别平行即可。本题中，发现AD与CF为直径，易得四边形ACDF为矩形。那么就可以得到AM与CD平行，再根据垂径定理可以得到CF⊥AE，那么就可以得到CF与DM是平行的，结论不难求。

（2）有了（1）的结论，连接EF，易得AF=EF=DE=CD。那么就可以得到EF与AD平行，那么就会垂直于BC。再根据CD与AB的关系可以得到AB与MF、AF的比例关系。进而通过设未知数表示出其它的边长。在Rt△ACF中利用三角函数的定义进行求解即可。
【答案】（1）证明：连接、，
，
是的直径，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，
四边形为平行四边形；

（2）解：四边形为矩形，四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，，
在中，，
，
在中，，
在中，．