世界七大数学难题之一：霍奇猜想

古希腊时期，毕达哥拉斯用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理。自此，人类便开始将形状与数学联系在一起。

200年后，欧几里得把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。

经过数千年的更迭，人们对于形状的研究越来越复杂，而这时，霍奇猜想就应运而生。

霍奇猜想诞生的背景

17 世纪 70 年代以前，几何和代数都有了相当的发展，但它们是互相分离的两个学科。笛卡尔对当时的几何方法和代数方法进行比较思考，他主张把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学”。

笛卡尔的数学思想证明了如果你抽象一步进一步，几何实际上是与代数相同，几何可以转化为代数方程，代数方程同样也可以转化为几何图形。

如果你想看到某条线与特定圆交叉的位置，你可以几何地绘制形状，或者只是用代数方式比较方程。 两种方法都会给出相同的答案。

到了19世纪，数学家尝试推广笛卡尔的方法。他们从一些代数方程入手，把这些方程的解定义为“几何”对象。以这种方式从代数方程产生的对象，就被称为“代数簇”。

球射影空间上的代数簇

因此，代数簇是几何图像的一种推广．任何一个几何对应都是一个代数簇，但是有许多代数簇是不可能被直观化的。然而，并不因为某个特定的代数簇不可能被直观化，你就不能对它做（代数）几何。你能做，只不过这是没有图形的几何。

之后，数学家很快发现更复杂的方程，或者甚至方程组都在一起工作，可以在各种维度产生惊人的形状。

数学家为了得到更加复杂的形状，发现了一个非常实用的方法，基本想法是在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧非常好用，使得它可以用许多不同的方式来推广。

数学家希望通过这种方法，用各种不同类型的方式一步一步地扩展，最终建立一组强有力的代数方程或／和几何工具，使各种复杂的对象分类成一些具体的简单的几何对象及其组合。这使得数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。

不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来在这种扩展过程中，几何出发点变得模糊起来——到底从哪些简单几何对象组合起；组合的程序／序列又是什么。因此，必须加上一些没有任何几何解释的＂非几何＂基本模块。

正是基于这样的困境， 1958年，英国数学家，第13次国际数学大会的主席霍奇教授提出：对于射影代数簇空间，在非奇异复射影代数簇上, 任何一个霍奇类都可以表达为代数闭链类的有理线性（几何部件的）组合。

这句话是什么意思呢？“非奇异射影代数簇”指代的是由一个代数方程的解所生成的光滑的多维物体的“表面”。简单而言就是：任何一个形状的几何图形，不管它有多复杂(只要你能想得出来)，它都可以用一堆简单的几何图形拼成。

霍奇猜想提出的意义

现代数学自伽罗瓦的群论诞生以来，越来越倾向于提炼出对事物本质抽象的认识。

一百多年以来，数学家们在抽象的基础上继续建立更深的抽象，每一层次的抽象都更加远离我们日常的经验世界。以群论为例，我们通用的“加、减、乘、除”则被抽象为四种运算法则。

霍奇猜想则是现代数学极端抽象体系下诞生的难题。作为高度专业的问题，它处理的对象与人们的直觉相去甚远，以至于不但对猜想本身的对错难以下判断，甚至连问题本身的表述都在寻求建立真正的共识。

也就是说这个问题的表述是否严谨合理在数学界都还存在一定的争论。有些人甚至说它应该更准确地称为一个不着边际的猜测。

而霍奇猜想的证明将在代数几何、分析和拓扑学这三个学科之间建立起一种基本的联系。

霍奇猜想的证明进展

美国数学学会曾出版专门关于霍奇猜想研究进展的书。在其序言的开头有一段对霍奇猜想的陈述，它被这本书描述为这个猜想的“通俗版本”：

这本书曾出版了两版。第二版在1999年出版，共有368页，每页都排得密密麻麻。根据已知的情况作了更新。其中列出了发表于1950年至1996年的71篇论文，这些论文都仅仅是关于这个猜想的一个方面，即所谓阿贝尔簇上的霍奇猜想的。这本书的作者在序言中承认，即使有了这个补遗，这个综合报告仍然是不完全的，要读者参阅其他资料。

也就是说说从1958年提出，霍奇猜想的研究进展几乎为0，而唯一有突破的一次证明还是在霍奇猜想提出之前，是由美国数学家莱夫谢茨于1925年解决的，他证明了霍奇猜想的一种情况。

复杂几何图形

相比起大名鼎鼎的庞加莱猜想、哥德巴赫猜想等，霍奇猜想可以称之为世界上最难的数学问题，诞生半个多世纪，数学家依然对它束手无策。

目前，两名毕业于北京大学数学科学学院的80后中国数学家恽之玮、张伟证明了函数域中的高阶Gan-Gross-Prasad猜想，张伟和恽之玮所发现证明的这个公式和7个“千禧年问题”中的3个（霍奇猜想、黎曼假设、BSD猜想）都有关系。恽之玮在接受CCTV采访时说：“我们的等式是连接了数论和几何的两个量，几何那边和代数几何中的霍奇猜想有关，数论那边和黎曼假设中的黎曼Zeta函数有关，这个等式本身可以看作是在BSD猜想框架下的一些拓展”。

恽之玮,张伟

希望中国数学家可以在这个千年未决的难题上取得一点小的突破，这样数学家才知道霍奇猜想通往的方向究竟会是哪里。