【名师支招】我这么做因式分解（二）

01

双十字相乘法

双十字相乘法：二次六项式

对于一元的多项式，常见的是二次三项式，若增加一元，则常见为二次六项式，如下：

这样的多项式如何分解呢？

首先考虑一下次数，作为一个二次式，分解的结果一般为一次式×一次式，所以对于二次六项式分解的结果，一般为：

先确定形式，再确定具体的系数，就会离正确答案更接近

其中满足：

要是这么解方程组的话可能就就要呵呵了，如十字相乘一样，这里也有一套简便的算法，用来分析每一项系数，名：双十字相乘法。

顾名思义，用两次十字相乘就好了。举个例子吧：

对比分解后可能的结果

可以这么理解：

（1）挑选x、y项：

（2）挑选x、常数项：

（3）挑选y、常数项：

从整式乘法的计算过程反推因式分解的各项系数，项数较多的情况先挑选部分项来分析。

综合一下就是：

这样看不是用了三次十字相乘吗？为什么叫双十字相乘呢？

回顾我们计算的（1）、（2）、（3），根据（1）可以确定x、y项的系数，根据（2）可以确定常数项，所以只需要两次就可以确定每一项系数！

不过这里要特别注意的是，双十字相乘法通常选用（1）、（3），如上述例子，因为x²系数为1，所以如果选用x、常数项分解来确定常数项的话，不能确定1和3的位置，即是

还是

这个由y说了算，因为y²的系数不为1，所以选取系数不为1的二次项作为第二次十字相乘。

最终，这个题目的过程只要这样就行：

故

所以取名“双十字相乘法”应该可以说是非常贴切了吧！

02

主元法

主元法：未知数个数≥2

先解个方程：

很简单吧，把（a²+1）直接除过去，就可以得到

，为了避免除数为0的情况，故意把系数设计为（a²+1）也是煞费苦心。

等等，题目说解方程，但并未具体说明是关于谁的方程，这里的三个字母a、b、x都是普普通通的字母，为何就默认把x看成未知数了？

所谓主元法利用的就是这样的思想，当出现多个字母的时候，选取其中一个看成主元，然后将多项式整理成关于这个主元的降幂排列，再用恰当的方法作因式分解。

例：

选取x作为主元，可将式子整理为：

接下来用十字相乘即可：

是不是也很简单？

再比如：

乍一看是不是毫无头绪，采用主元的思想对上述式子重新整理一遍，不妨将a看成主元，整理成关于a的降幂排列：

可以把这个式子看成是关于字母a的二次三项式，b、c都只是参数罢了。是否感觉有点豁然开朗，接着用十字相乘法作因式分解

所以

遇到这种多元多项式，可以考虑选定一个字母（宜最高次不超过2次）作为主元，重新整理多项式，达到简化问题的效果。

03

拆添项

拆添项：当多项式有点像公式的时候

拆添项可以再细分为“拆”、“添”。

所谓“拆”，比如：

所谓“添”，比如：

整式乘法里的合并同类项倒过来即为拆添项。

看点例子吧

1、四次式：

这玩意能分解？像x²+4在有理数范围内是不能分解的，但并不代表

不能分解，因为次数更高，所以操作空间就更大了些。

将

看成是

，便可知这里两项均可化为完全平方，所以还缺个中间项，补上：

2、五次式：

分析发现有（x+1），若再添上x²即可构成（x²+x+1）是（x³-1）的因式。

3、系数规律：

各项系数分别为1、1、4、3、3，可将4拆成1+3，即可凑一组1+1+1，一组3+3+3。将4x²拆为x²和3x²，可得：

拆添项作为一种方法其实有点尴尬，它并没有针对性地解决某种形式的问题，但在有些题型中，巧妙地拆添，会有意想不到的收获。

04

换元法

换元法：当一个代数式反复出现的时候，即可通过换元，达到简化式子的效果。

1、降次换元

例：

记x³=u，

其实换元对于式子本身并未改变什么，采用相同的思路不用换元也可做出来，换元的目的只是让式子看起来更简单，帮助我们找到解决问题的思路。

2、构造相同因式换元

例：

将（x+1）与（x+4）先相乘，（x+2）与（x+3）先相乘，可得：

于是两个括号里便都有了（x²+5x），此时可将（x²+5x+4）替换为t，也可将（x²+5x+5）替换为t。

记x²+5x+5=t，则：

例：

分析：可将（x+1）与（x+6）相乘，得（x²+7x+6）；将（x+2）与）（x+3）相乘，得（x²+5x+6），于是在两个括号中便都有了（x²+6）

此处可记（x²+6x+6）=t，则：

在没有相同式子的时候，想方设法构造出相同式子，也不失为一种思路。

换元法并非仅限于因式分解，在很多代数问题中，都可运用这种方法。比如：

解方程：

令

，

，

考虑到

，

有

构造方程

，解得：

，

所以x=2或-2。

这四种方法也是因式分解中常用的方法和技巧，理解每一种方法的思路，多一种方法便多一条思路。