刘 晖、罗小明——2021年金太阳5月联考压轴题解法探究

2021年金太阳5月联考压轴题

解法探究

湖南益阳市第一中学      刘  晖

湖南益阳市牌口学校        罗小明

证法2（两次利用“点差法”，利用弦的斜率与其中点坐标关系来求得弦的中点坐标，从而迅速获证.）

【评析】证法1和证法2均应用了平行弦的中点轨迹思想来证明直线AM和BN的交点T在定直线上,这些证明方法属于通性通法，具有普遍性.

 证法3：（抛物线上两点式）

【评析】此证法是先联立直线和抛物线C的方程组求得A、B两点的横坐标，再用含t的式子表示M、N两点的横坐标.然后应用直线的两点式方程来表示直线MA和直线NB解析式，最后联立方程组求得点T的横坐标为常数4，从而获得证明.不过此证法运算量较大，它需要有很好的耐心与毅力.

  证法4：（应用三点共线的向量式，快速确定点T横坐标.）

【评析】此证法采取向量共线的充要条件来建立方程组，注意到A、B两点横坐标之和与M、N两点横坐标之和都等于8，从而非常巧妙地求出点T的横坐标为定值4来达到证明问题的目的.

  特殊猜想1（特殊位置法）

图2

【评析】特殊猜想方法1和特殊猜想方法2分别采取了特殊位置法和极端原理来说明点T的横坐标为定值，猜想2中当直线MN与直线AB重合时，可化归为“阿基米德三角形”模型. 虽说能够通过运算得到与前面四种证法中点T的横坐标相同的结果，但它们不能作为解答题的证明方法.作者通过一些特殊手段来对此类问题的可能性进行大胆猜想与判断，对于解答类似的填空题和选择题，却不失为临考中一种投机取巧的得分方法.

最后的感受：上述这道2021年金太阳5月联考压轴题是以“阿基米德三角形”为背景，通过“轨迹追踪”来探究动点在定直线上.本文通过多种方法来对此问题进行证明和思考，旨在通过一题多证和一题多反思来指导考生科学备考，以此提高其综合复习灵活运用所学的基本知识、方法、技能和活动体验，达到培养学生的关键能力和核心素养，形成良好的心理素质，锤炼意志品质，让他们在六月的考场上能够镇定自若、从容而又快捷答题打下坚实的基础.

下面提供五道以“阿基米德三角形”为背景的高考题，以飨读者.