清‧项名达《下学葊算书》之“勾股定理”证明法
清‧项名达《下学葊算书》之“勾股定理”证明法
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何世强 Ho Sai Keung
提要：本文取自清‧项名达着之《下学葊算书三种‧勾股六术》，本文主要介绍该书之“勾股六术”中之首二术，所谓“勾股六术”其实是六类有关直角三角形之三边运算法及相关之恒等式之証明。
关键词：项名达 下学葊算书 勾股六术 勾股定理
第 1 节 项名达简介
项名达，字步莱，号梅侣，浙江钱塘﹝今杭州﹞人。祖籍安徽歙县。生于乾隆五十四年﹝即公元1789年﹞，卒于道光三十年﹝即公元1850年﹞。
项名达主要数学著作有《象数一原》六卷﹝未完稿﹞，《勾股六术》一卷，《三角和较术》一卷，《开诸乘方捷术》一卷，后三种合刻为《下学葊算术三种》。
项名达于《象数一原》前有自序，此序撰于道光二十三年癸卯﹝即公元 1843 年﹞，其后于道光二十九年己酉﹝即公元1849年﹞项名达病重，自知不久于人世，于该年另撰一序，题作“道光己酉年十月二十七日梅侣项名达绝笔序。”
不料病躯重感湿热，兼肝乘脾，几不可救，医治两月无起色，乃又重感燥火致脏腑无不致病者，遍体血脉不行，医尽束手，自知残灯微焰，断难久延，而是书从此搁笔矣。
照此看来《象数一原》尚未正式完稿，而以上提及之〈序〉相信乃项名达之最后文字纪录。依其所云，其病涉及内脏，可能为今之所谓癌症。
《象数一原》由其友人戴煦遵其嘱托于咸丰七年﹝即公元 1857年﹞补写而成，故现传本《象数一原》共七卷。
本文取自项名达着之《下学葊算书三种‧勾股六术》，此书前有序，题作“道光壬辰秋七月下浣三日顺德黎应南序”。道光壬辰即道光十二年﹝即公元 1832 年﹞。
道光五年乙酉，即公元 1825 年，项名达曾与当时之数学家邵鱼竹、陈辛伯讨论“勾股六术”，可能至道光十二年始行定稿。
本文主要介绍该书之“勾股六术”之首二术。所谓“勾股六术”其实是六类有关直角三角形之三边运算法及相关定理之证明。
第 2 节 勾股六术图解之首二术﹝勾股定理﹞
勾股六术图解
第一术：
弦方内，兼有一勾方一股方，何也？
其意指一直角三角形之斜边平方包含一勾之平方及一股之平方，试证明之。项名达以下图证明之。
“何也？”即“为什么如此？”题意要证明命题。题目之另一种说法为证明“勾股定理”。
下图为项名达之图，以ABC为主三角形，AC为弦，AC2 为ACHG，作GF 垂直 AB，延长 CB 至D，使 CD = AB，连 HD，作 HE 垂直 GF。作 ∆CDH = ∆AJG，又作 ∆HGE = ∆AKC，注意以下之三角形全等：
∆ABC ≡ ∆CDH ≡ ∆HEG ≡ ∆GFA ≡ ∆AJG ≡ ∆CKA。
将 ∆CDH 移至∆AJG，又将 ∆HGE移至∆AKC，经此转移，正方形 ACHG = KJGEDC，此乃两正方形之和。即：
KJGEDC =正方形KLDC + 正方形 LJGE。
即正方形ACHG = 正方形 KLDC + 正方形 LJGE
即 AC2 = CD2+ GJ2
即 AC2 = AB2+ CB2。
《下学葊算书》曰：
如图甲乙丙勾股，庚己甲、辛戊庚皆与之等。乙丙为勾﹝甲己、戊庚、辛丁皆等﹞，甲乙为股﹝庚己、辛戊、丙丁皆等﹞，则甲庚丙辛，必为弦自乘方。
以下为弦方含勾方及股方图：
乃移丙丁辛勾股，置于甲壬庚；移辛戊庚勾股，置于丙癸甲，又自戊至子作线截之，则易为癸子丙丁一股方，子壬戊庚一勾方矣。盖丙丁为股，丙癸亦为股，则癸子丙丁必为股自乘方。戊庚为勾，壬庚亦为勾，则子壬戊庚必为勾自乘方。
勾股形转移图：
上图显示勾股形 ∆CDH 移至 ∆AJD，∆HEG 移至 ∆CKA。
《下学葊算书》曰：
故勾股求弦，以勾方股方相加为弦方，勾弦求股以勾方弦方相减为股方，股弦求勾以股方弦方相减为勾方，皆平方开之，得勾股弦也。
“勾股求弦”即已知勾股形之勾与股，求其弦长，则弦2 = 勾2 + 股2。
“勾弦求股”即已知勾股形之勾与弦，求其股长，则股2 = 弦2 – 勾2。
“股弦求勾”即已知勾股形之股与弦，求其勾长，则勾2 = 弦2 – 股2。
各数须平方开之，即开方。
下图有颜色部分显然为两正方形之和。
弦方分成勾方及股方图：
此即为项名达勾股定理证明法。
以下为现代代数证明法：
以ABC为主三角形，AC为弦 = c，CB 为勾 = a，AB 为股 =b。
AC2= c2 = ∆ABC + ∆CDH + ∆HEG + ∆GFA + 正方形 BFED。
∆ABC = ∆CDH = ∆HEG = ∆GFA =
ab，
正方形 BFED 边长为 b – a ，面积为 (b – a)2，
AC2= c2 = 4 ×
ab + (b – a)2 = 2ab+ b2 – 2ab + a2 = a2+ b2。
即 弦2 = 勾2 + 股2。
以上即勾股定理之证明。股定理之证明法有多种，项名达之证明法乃其中之一，至于是否项名达所创，笔者无深入稽核。《下学葊算书》“黎应南序”曰：
尝语余曰：“守中西成法，搬衍较量，筹人子弟优为之。所贵学数者，谓能推见本原，融会以通其变，竟古人未竟之绪，而发古人未发之藏耳。”
依项名达之说法，“发古人未发之藏”，故其证明可能乃其首发现者也。
第二术：
弦方倍之，兼有一勾股较方，一勾股和方，何也？
“第二术”乃为一勾股恒等式之证明，属今之初中之数学题。
若一勾股形之弦 = c，勾 = a，股 = b；
今要证明：倍弦方 = 勾股较方 + 勾股和方。
注意勾股较方= (b – a)2，勾股和方= (b + a)2 。
即证明：2c2 = (b – a)2 + (b + a)2 。此即为项名达勾股恒等式之二。
本题其实十分简单，只要展开右方再用勾股定理化简即可得左方。
(b – a)2 + (b + a)2 = b2– 2ab + a2 + b2 + 2ab+ a2 = 2(b2 + a2) = 2c2。
项名达以下图证明上式。以下为勾股和方勾股较方图：
如图。甲丁辛勾股形，甲丁丙戊为弦方﹝甲丁为弦，四边皆等，故为弦方﹞，内容甲丁辛、丁戊己、戊丙庚、丙甲乙四勾股积，己庚辛乙一勾股较方﹝丁辛股减丁己勾余己辛为勾股较方。﹞
上图之JLMK 为勾股和方，FGBH 为勾股较方，此两正方形乃图之要素并以彼等命名。
注意以下之三角形全等：∆ADH ≡ ∆DEF ≡ ∆ECG ≡ ∆CAB，面积皆为
ab。
又注意 AJ = DL = EM = CK = b； JD = LE = MC = KA = a ；
AD = DE = EC = CA = c。
FGBH为勾股较方，即 (b – a)2；ACED 为弦方，即 c2。从图可知：
ACED = ∆ADH + ∆DEF + ∆ECG + ∆CAB + FGBH
c2 = 4 ×
ab + (b – a)2 ﹝见上题﹞。
原文曰：
若倍之必内容八勾股积，二勾股较方矣。即上式左右方乘以 2：
2c2= 8 ×
ab + 2(b – a)2-------------------------------------------- (1)
又壬子癸丑为勾股和方﹝壬丁勾加丁子股，得壬子为勾股和。子丑、丑癸、癸壬皆等，故为勾股和方﹞，即 JLMK 为勾股和方，即(b + a)2 。
内容甲壬丁等八勾股积，己庚辛乙一勾股较方。
从前图可知，勾股和方内容八直角三角形及一勾股较方。写成等式即：
(b+ a)2 = 8 ×
ab + (b – a)2--------------------------------------- (2)。
比之两弦方，尚少一勾股较方，则两弦方内，即兼有一勾股较方，一勾股和方矣。
其意指 (2) 式与两弦方之式(1)比较，尚少一勾股较方，将 (1) 写成：
2c2= 8 ×
ab + (b – a)2 + (b – a)2 -------------------------------- (3)
即将 (2) 代入 (3) 即得：
2c2= (b + a)2 + (b – a)2 ，证毕。
此结果有何用？项名达指出以下两种情况：
1. 故有弦有勾股较，以弦自乘倍之，为两弦方，内减勾股较自乘方，余为勾股和自乘方，平方开之，得勾股和。
即已知一勾股形之弦长及其勾股较，先求勾股和，再求其勾、股之长﹝依以上所用符号﹞。
今设 a、b及 c 为未知数，其他为已知数。又设 c = p ，b – a = q，求a 及b。
因为 2c2 = (b+ a)2 + (b – a)2
2p2= (b + a)2 + q2
2p2– q2 = (b + a)2
即勾股和为 b + a = √(2p2 – q2) 。
即可解得b =
[√(2p2– q2) + q]，a =
[√(2p2– q2)–q] 。
2. 有弦有勾股和，亦以弦自乘倍之，为两弦方，内减勾股和自乘方，余为勾股较自乘方，平方开之，得勾股较也。
即已知一勾股形之弦长及其勾股和，先求勾股较，再求其勾、股之长﹝依以上所用符号﹞。
设 c = p ，b + a = r，求a 及 b。
因为 2c2 = (b+ a)2 + (b – a)2
2p2= r2 + (b – a)2
2p2– r2 = (b – a)2
即勾股较 b – a = √(2p2– r2) 。
即可解得b =
[ r + √(2p2– r2)] ，a =
[ r – √(2p2– r2)] 。
又《下学葊算书三种‧勾股六术‧第二术》曰：
〈第一题〉
有弦有勾股较，求勾股。
法以弦自乘倍之，与勾股较自乘相减为实，平方开之，得勾股和。和较相加折半为股，相减折半为勾。
此处之“实”指两数之差。
〈第二题〉
有弦有勾殷和，求勾殷。
法以弦自乘倍之，与勾殷和自乘相减为实，平方开之，得勾股较。和较相加折半为股，相减折半为勾。
“折半”即除以2。以上二题之算法见前文。
以下为《下学葊算书三种》原文：