初二奥数精讲——第10讲 代数式的变形与求值（一）

一、知识点解析

1. 基本知识

代数式：由字母和运算符号组成的式子叫做代数式。

代数式的值：当代数式中所有字母都取一个确定的值时，代数式也得到一个相应的值，这个值称为代数式的值。

代数式的变形：将一个代数式变为一个与之等价的代数式称为代数式的变形。

2. 基本方法

凑配法：从某种结构中凑配出另一种结构，这种变形称为凑配法。它常采用如下一些技巧：

（1）条件的简化：将条件进行恒等变形（移项、合并、去分母、因式分解等），得出更简单的条件（称为新条件）。

（2）条件的凑配：瞄准目标，对条件进行凑配，即在条件中凑配出目标中的有关结构。凑配的关键，是发现条件与结论的差异，由此改造条件。

（3）各条件的综合：对于多个条件的问题，常常要将条件综合在一起，得出综合的结论。

（4）结论的凑配：瞄准条件，对目标进行凑配，即在目标中凑配出条件中的有关结构，从而利用条件。凑配的关键，是发现条件与结论间的差异，由此改造目标。

（5）从条件与结论同时凑配：先从条件中凑出一个新的结构，再在结论中凑出这一新结构。

（6）从结论的一部分中凑配另一部分：发现结论（等式）各个部分之间的差异，从一个部分凑配另一个部分。常见的是从等式的一边凑配另一边。

（7）凑配公式：通过配因式、配项等，凑配“平方差”，借以产生某种因式。此外，凑配完全平方、完全立方（简称“配方”），以进一步利用公式或产生非负项是常用手段。

消元法：通过比较题目的条件与目标，发现最终结果中不含条件中出现的某个字母，从而设法消去这个字母，常常可找到解题途径，或者，通过消去一些字母，使所含的字母个数减少，问题就变得简单些。它常常采用如下一些技巧：

（1）选择主元：如果条件中含有k个等式r个字母（k < r），则可选择r-k个字母为主元，将其他字母用主元表示。

（2）设等式参数：假设条件中含有某种等式，则可将等式一边的值用一个参数表示，进而将有关字母也用这个参数表示。

（3）结构消元：选择一种结构，将另外的结构表示成所选择的结构。

整体求值法：在求代数式的值时，并不一定要知道每个字母的具体取值，有时只需要某些字母团体的取值，在代数式中凑配出这种字母团，再将字母团的值（整体值）代入代数式。它常采用如下一些技巧：

（1）在目标式中凑有关“团体”，再将“团体”的值代入目标式。

（2）利用递推式构造“团体”。

（3）利用整体估计：通过研究整体的性质，导出某种特殊个体的存在，从而简化问题。对此，几个常用的结论是：

若x+y+z=a，则x，y，z中至少有一个不小于a/3，也必有一个不小于a/3.

若xyz=0，则x，y，z中至少有一个为0.

若(x-a)(y-a)(z-a)=0，则x，y，z中至少有一个为a.

换元法：如果某种式子在问题中多次出现，则可将其用一个新的字母表示，以简化问题的表示形式，其中一种特殊的技巧是：常数代换，即将常数用式子代替。

赋值法：如果两个代数式恒等，则可将其字母取一些特殊值，分别代入两个代数式，得到的值相等，由此建立有关等量关系。

3. 基本问题

（1）代数式的运算与化简：这类问题，通常是利用代数式的运算法则和乘法公式，对代数式进行展开、合并、分解等变形。。

（2）已知字母的取值，求一元代数式的值：其问题的表现形式为：已知x=c，求f(x)的值。

（3）在给定的条件（各字母满足的关系）下，求多元代数式的值：先求出其“形式解”，再讨论什么条件下此解存在或不存在。

（4）含有字母系数的代数式求值。

（5）已知代数式的展开式形式（通常是含有字母系数的多项式），求关于字母系数的代数式的值。

这部分主要考察学生的对代数式的变形与求值的了解及掌握。是代数式部分的综合应用，这部分题型种类繁多，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

计算：

分析：有一部分在题目中多次出现，从而可以用一个字母表示。

解答：

注：显然，通过一个代换，使复杂的式子变得非常简单，隐藏的关系也趋于明朗。

例2

化简：

分析：用方程解的定义求解。

解答：

例3

例4

例5