四点共圆（圆内接四边形）与手拉手，两个模型的联系和练习题

上次忘了说，2018的哈尔滨中考最后一题的第二问就是利用四点共圆造手拉手找到思路的。

（点击查看：哈尔滨2018中考压轴题分析本质破解，手拉手思旋转）

（以下原文）今天正式的来看看，要说四点共圆是初三才有的模型，而手拉手就比较早了，初学全等就可以接触了。其实四点共圆也不是初三才见到，同样是初学全等的时候的对角互补四边形，其实就是四点共圆。手拉手也是在初三可以升级为相似的手拉手。

（点击查看：学完全等后的经典模型，八个模型）

之所以研究他们俩的联系还要从一个模型说起，也是属于对角互补四边形系列的，初学全等时介绍的，对角互补，邻边相等，角平分线（知三推一）模型（对角互补就是四点共圆）

这个模型的方法是做点垂线垂两边，证明全等，而且有很多引申，之前也讲过了。

这里有个结论就是CD+CB=2CI=2CJ

有一个引申就是当对角互补是60度和120度的时候。有很多特殊结论。如下图。AC+AD=AB（做点垂线可证）

（点击查看：几个线段倒数和模型，以及倒数和的策略）

其实除了做点垂线之外还有一种方法就是今天要说的，四点共圆构造手拉手。

怎么构造呢？看下面：

这就是刚才的模型，其实换一种描述就是圆中有个等边，再来一个点连接如图。还有其他的给法。

 手拉手来了：

显然AD+CD=DF+BF=BD感觉很简洁

不同的转法都可以（其实就是旋转的思想）

（点击查看：旋转策略，从简单到不简单）（等边思转）

那么我们变一变，把等边改成等腰，一样可以旋转手拉手：

把定角变成特殊的度数还可能有特殊的结论。（60度上面已经试过了）

CD+根2AD=BD

以上都是临边相等的四点共圆。

再改一改变成任意四点共圆，如下：

一样可以放缩旋转，相似手拉手

而且传说的托勒密定理就是这么构造而证明的。

再看两道例题吧（其实都是旋转思想）

没错你没看错，第三问的三个线段，我一度以为是打错了，其实没有。

这个题的四点共圆的给法不太一样。第一问倒角，第二问就可以构造手拉手了，

第二问

方法一：

第二问

方法二：

第三问方法也很多们也是构造手拉手：

第三问

方法一：

如图显然：AB/根号2=BG=BD+DG，

    CD-BD=2FD（第二问可得）=2GD

综上得出结论

第三问

方法二：

如图显然：BD+CD=CH=根号2AC

这个结论是绝对正确的，但是我第一做出的却不是这个结论。我的思路是经典的数学思路：利用现有结论解决未知问题。我以经知道了AD+BD=CD这个结论。要找到AD，BD，AC的关系。只要找到AC和AD的关系即可解决这个问题。我发现三角形ADC其实是一个亚特殊三角形（就是比较特殊但是又没有等直等边这么特殊的厉害）。那么它的三边比值是固定的。这样一来我就找到了AC和AD的比值是，（根号6）:2。这样AD代换成AC就得到了结论：

CD-BD=AD=(2AC)/根号6（就不化简了）。我得到的是一个差的结论，其实想想也没什么神奇的，45度和60度已经把这个形状限定死了，也就是，三边的长度比应该是定值。看看下面的图就很清楚了；

结论是：

    好了看看例题2：

直说第三问吧，就是各种转构造手拉手全等。下图：

方法一：

很多初学者会疑问，转谁呢？凡是以等边为边的三角形都可以试试。

如图旋转三角形BCD，EI平行CD，显然有同色全等，注意还有一对没标出来的全等三角形DCG和IEG（平行八字型（用等对边平行来判定）），

然后x+y=8,x-y=6(2DG)

方法二：

旋转三角形CAD，EI平行CH，显然同色全等，也还是有一个平行八字全等。

三角形CHG全等EIG。x+y=8,(x+y)/2=BG ,BG=1/2AF=4

方法三：

这次旋转三角形CGB，显然同色全等，所以BG=1/2AF=4

其实以上的红色三角全等都是差一个角，辅助线可以得出这个角等。