第16讲 典型例题与练习参考解答：柯西中值定理与洛必达法则
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第16讲：柯西中值定理与洛必达法则
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：设在上连续，在上可导，证明：至少存在一点，使得
(1) 存在，使得
(2) 存在，使得
(1)
(2) ( 为正整数).
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
其中.
练习12：证明以下结论成立：
证明以下结论成立：
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：设在上连续，在上可导，证明：至少存在一点，使得
【参考证明】：【思路一】 柯西中值定理证明：改写中值等式，有
构造函数, ，验证满足柯西中值定理条件，则由柯西中值定理得，至少存在一点，使得
即结论成立.
【思路二】 罗尔中值定理证明：构造辅助函数
代入端点的值，可得，可知函数满足罗尔中值定理的条件，故由罗尔中值定理可知结论成立.
练习2：试证至少存在一点 ，使得
【参考证明】：【思路一】 柯西中值定理. 改写中值等式，有
构造辅助函数
则两函数在上满足柯西中值定理的条件，于是由柯西中值定理，得
整理得所需验证的等式.
【思路二】 罗尔定理. 令
验证在区间 上满足罗尔定理条件即得结论成立.
练习3：设在上连续，在内可微，且. 证明：存在，使得
【参考证明】：改写中值等式，有
则由拉格朗日中值定理，有
对函数, 应用柯西中值定理，得
将拉格朗日中值定理的等式代入，即得结论成立.
练习4：设函数在 上连续，在内可导，. 证明：
(1) 存在，使得
(2) 存在，使得
【参考证明】：(1) 改写中值等式，得
故令, ，则两函数在区间上满足柯西定理的条件，故由柯西中值定理知，存在，使得
整理即得所需验证的等式.
(2) 由拉格朗日中值定理，存在，使得
问题归结为证明
则对函数, 应用柯西中值定理，有
即结论成立.
练习5：设在内具有二阶导数，证明：对任意的，在之间存在，使得
【参考证明】：改写中值等式，有
且，在构成的区间上满足柯西中值定理的条件，故由柯西中值定理，得
再由, ，在构成的区间上满足柯西中值定理的条件，故由柯西中值定理，得
即结论成立.
练习6：证明：当时，成立不等式
【参考证明】：【思路一】 根据不等式结构，改写不定式，有
构造辅助函数
其中. 函数, 在区间 上满足柯西中值定理的条件，故存在，使得
其中.
【思路二】 把所有相关项移到左侧，令
则，且
从而可知，当时， ，故函数单调增加，即
所以原不等式成立.
练习7：求下列极限.
(1)
(2) ( 为正整数).
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【参考解答】：(1) 由洛必达法则，有
【注】：最后一步不能再应用洛必达法则，应为不满足条件.
(2) 由海涅定理，极限转换为函数极限讨论，并由洛必达法则，有
【注】：数列极限不能直接应用洛必达法则，需要转换为函数极限才能应用. 而其他大部分函数极限的运算法则，数列极限也可以应用.
(3) 由等价无穷小 与洛必达法则，有
(4) 由洛必达法则，有
(5) 由洛必达法则，当为正整数时，得
当不为正整数时，则存在正整数，使得当时，有
则由上面的结论可知
故由夹逼准则，得
【注】：上面两个例子表明，当时，
后面的函数比前面的函数趋于无穷大的速度要快！
(6) 改写极限式，并由洛必达法则，得
(7) 基于海涅定理，改写极限式，并由洛必达法则，得
(8) 考虑洛必达法则，则有
再次应用洛必达法则，则回归到原极限式，循环而无法得到结论. 该极限直接分子分母除以 可得
【注】：该例说明，既使极限式完全满足洛必达法则的前提条件，也不一定可以应用得到正确的极限结果.
练习8：求下列极限.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【参考解答】：(1) 通分，并由乘法法则与等价无穷小，得
(2) 取倒代换，并由洛必达法则，得
(3) 基于海涅定理，并由洛必达法则，得
【注】：该题应用洛必达法则计算相对比较复杂，而直接应用等价无穷小相对更简单、直接，并且还不需要转换为函数极限直接计算. 应用前面的极限结论和等价无穷小 ，可得
(4) 令，则应用前面计算得到的极限结论，得
(5) 应用对数函数的运算法则与等价无穷小，得
练习9：若(为有限数)，证明：
其中.
【参考证明】：(1) 令, ，其中严格单调增加，且
所以，由Stolz定理的结论，有
即所证结论成立.
(2) 改写极限式，有
故由(1)可知，
代入改写极限式，得
练习10：如果，且，则
【参考证明】：【思路一】 改写根式内部表达式，然后取对数即可，即
取对数，并由算术平均值极限的结论，得
【思路二】 将极限式写成指数描述，并由Stolz公式，得
练习11：计算极限
【参考证明】：分母数列单调递增且趋于正无穷. 取
于是由Stolz公式，得
练习12：证明以下结论成立：
【参考解答】：问题转换：两端取对数，则
由于
记，则 严格单调递增且趋于正无穷大，且有
所以，由Stolz公式的结论，得
【注】：使用Stolz定理的结论证明或者求数列的极限，关键在于构造两个数列.
练习13：设数列由下式确定：,
证明以下结论成立：
【参考证明】：问题转换：一般带根号的问题不是很好计算，能够转换的尽可能去掉根号进行讨论。容易直接看出 是严格单调递增的正数列；所以，问题的证明可以转换为证明
令, ，则单调递增趋于正无穷大，且有
对于数列，如果它的极限存在，则由递推关系式，有
显然任何有限数都不可能。由于 是严格单调递增的正数列，必定数列趋于正无穷大. 于是可得
所以由Stolz定理，有
即所证结论成立.
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