最速降线

最速降线问题

“想象一个小球，仅受重力，从点 A 出发沿着一条没有摩擦的斜坡滚至点 B。怎样设计这条斜坡，才能让小球在最短的时间内到达点 B？”

图片

这个在数学史上被称为“最速降线”的知名问题，最早是由著名的意大利科学家伽利略（Galileo Galilei）于 1630 年提出来的。他在研究后认为最速降线应该是圆弧，但可惜的是这个答案并不是正确的。时间又过了 60 多年，1696 年 6 月，来自瑞士巴塞尔（Barsel，这座城市不仅是数学世家伯努利的故乡，也是欧拉的故乡，有一个由欧拉解决的著名数论问题就是以这座城市命名的）的约翰・伯努利（Johann Bernoulli）在《教师学报》（Acta Eruditorum）上又重新提出这个问题，并向全欧洲的数学家提出公开挑战。这个别出心裁却又十分容易理解的问题吸引了当时全欧洲的数学家，而最后给出了正确解答的人也都是数学史上赫赫有名的巨人。这也让这次挑战成为了数学史上最激动人心的一场公开挑战。

数学家之间公开挑战的传统要追溯到 16 世纪在意大利的博洛尼亚（Bologna）。16 世纪初的博洛尼亚曾是欧洲数学思想的大熔炉，全欧洲的学生都会来到博洛尼亚大学。他们甚至还“发明”了一项新的观赏运动——数学比赛。这听起来有些匪夷所思，但在当时确实有大批的观众从各地涌来，围观数学家们互相之间用数学斗法。其中最有名的一次，是在塔塔里亚（Tartaglia）和费奥（Fior）间上演的，是一场关于求出一元三次方程通解的世纪智力大战。

言归正传，在约翰・伯努利发出挑战后的半年里，他收到的唯一一份答案来自《教师学报》的主编，他的老师莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz）。在莱布尼茨的要求下，他将接受答案的最后期限推迟到 1697 年的复活节，以便有更多的数学家能参与到这场挑战中来。

我们都知道，过两点的直线段是两点间的最短路径。但使质点的运动时间最短的运动轨迹，却不是那么的显而易见。这个问题和以往人们见过的那些求极值的问题是有本质区别的。借助微积分，人们可以求出一个函数的极值；但最速降线问题要求的并不是某个传统函数的极值点，而是要在一簇曲线（过 A、B 两点的所有曲线）中，求出能让质点运动时间最短的那条。这是一个以函数（小球的运动轨迹）为自变量，以实数（小球运动的时间）为函数值的函数，也就是所谓的泛函。我们要求的就是这样一个泛函的极值。正如后文将要介绍的那样，这类问题形成了一个全新的数学分支——变分学。

1697 年的复活节很快就到了，约翰・伯努利一共收到了五份正确答案。这五份答案分别来自他自己，他的老师莱布尼茨，他的哥哥雅各布・伯努利（Jakob Bernoulli），他的学生洛必达（Guillaume Francois Antonie de L'Hospital），还有一位来自英国的匿名数学家。最后这份答案虽然没有署名，但显然出自赫赫有名的牛顿（Issac Newton）之手。虽然五人的解法各不相同，但他们的答案全都一样——最速降线就是摆线。

同一个答案

图片

所谓摆线（cycloid），就是当圆沿一条直线运动时，圆周上一定点所形成的轨迹。其实当时的数学家对这种曲线并不陌生，帕斯卡和惠更斯都曾研究过这一重要的曲线。但大部分人都没有想到，这条线同时也是人们苦苦追寻的最速降线。

而我们大家对摆线也不陌生。还记得小时候玩过的那种能够画出各种漂亮曲线的玩具吗？一块塑料板上开着几个圆形的大洞，还有几块较小的圆形塑料片，不同半径处留有一些孔。把这些看似普通的小圆片放进大圆孔中，再将圆珠笔插在小孔里并带动小圆片沿着大圆的圆周运动，就能在纸上留下各种美丽的曲线。这些曲线也都是摆线，只不过是另一种被称为“内摆线”（hypocycloid）的摆线。它们是由给定圆在另一个圆内运动时，圆周上一定点形成的轨迹。

图片

不同的解法

让我们回到众人给出的最速降线的解法上。莱布尼茨、牛顿、洛比达都是用他们擅长的微积分来解决这个问题的。伯努利兄弟的解法就值得特别地说一说了。

约翰的解法应该是最漂亮的解法了。他利用了费马原理（Fermat's principle），将小球的运动类比成光线的运动。费马原理又叫做“最短光时”原理，说的是光线在传播时总会选择光程极短的那条路径。那么，“最速降线”就是在光速随高度下降而增加（加速度恒为重力加速度 g）的介质里光线传播的路径。用这样的类比思想，约翰成功地算出了这条曲线就是前面提到的摆线。

这种解法出人意料地用到了费马原理，实在是太巧妙了！在物理学中，费马原理被认为是“最小作用量原理”（principle of least action）在几何光学中的特例。而最小作用量原理则是物理学定律普遍遵循的规律，甚至被称为“物理定律的定律”。

图片

不知你想过没有，当我们将一个小球抛出后，它为什么会沿着所谓的抛物线运动？你可能会说，因为小球只受重力作用，根据牛顿第一定律，它在水平方向上速度恒定不变；而根据牛顿第二定律，它在竖直方向上做匀变速运动。这两个运动合起来就使得小球的运动轨迹成了一条抛物线。

这确实不错，但现在让我们换一个角度来考虑这个问题。从整体的角度考虑，小球在被抛出后，为什么不沿着其他的路径运动，却总是沿着抛物线运动呢？同样，我们在考察了连接小球起点和终点的所有曲线后，会发现只有在沿着抛物线运动时，小球的动能和势能的差在运动过程中对时间的积分（这就是所谓的“作用量”）才是最小的。注意，在这里我们同样是在一簇曲线中，求出一条曲线使得某个量达到极值。这种在一簇曲线中，求出某条曲线使得函数取到极值的思想就是变分的核心思想。也就是说，我们又是在用变分求泛函的极值。

再回过头来看看约翰・伯努利的哥哥——雅各布・伯努利的解法。虽然雅各布的解法相对于约翰的解法来说更复杂更麻烦，但他的解法更具有一般性，体现了变分的思想。约翰的学生，伟大的数学家欧拉吸收了这一思想，并从 1726 年开始发表相关的论文，最终于 1744 年首先给出了这类问题的解法，并创立了变分学这一新的数学分支。投资者用它来计算最大利润，工程师用它来计算最小损耗，建筑师用它来优化架构。它成为了微积分理论中最强大的工具之一。