极限思想与物质的无限可分
极限思想与物质的无限可分
多少年来，一个问题始终在引起人们的争议——物质是否能无限地分下去？或称为极限问题。
在日常生活中，我们常常会遇到极限问题。譬如要用剪刀剪出一个纸质圆板，当然是用剪刀的刀刃沿着圆周一小剪刀一小剪刀慢慢地剪，这里就体现了极限的思想。
一个正多边形，当边数趋于无限（多）时，其正多边形的轮廓就越趋近与圆周。上述剪纸质圆板的实例，就是采用剪出边数较多的正多边形来实现的。祖冲之发明圆周率，就是通过研究无穷多边的正多边形而得出的。
圆周率即圆的周长与其直径之间的比率。关于它的计算问题，历来是中外数学家极感兴趣、孜孜以求的问题。德国的一位数学家曾经说过：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志。”古人计算圆周率，一般是用割圆法，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度。
我国古代在圆周率的计算方面长期领先于世界水平，这应当归功于魏晋时期数学家刘徽所创立的新方法——“割圆术”。所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。
中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。
按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.14和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。
以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于求得了圆周率为：3.1415926＜π＜3.1415927，精确到了小数点以后的第七位。
我们通过两个简单实例再来作一分析：
【例1】斜线段AB用等分折线连接，当等分折线趋于无穷时，等分折线就趋近于斜线段AB。
【例2】曲线AB用等分折线连接，当等分折线趋于无穷时，等分折线就趋近于曲线AB。
【例3】如图求曲线AB与横轴所包围图形的面积。
由于曲线AB与横轴所包围部分并不是规则的图形，用常规的办法无法来求出其面积。我们可以设想出很多个小矩形，充满这个图形；若小矩形边长越小（趋于无穷小），小矩形数量越多（趋于无穷多），那么这些小矩形面积之和便无限地趋近于曲线AB与横轴所包围图形的面积。这便是积分的原理。
高等数学中研究的微分和积分，其基点就是无限小量——微分就是将一个函数化为无穷多的无限小量；积分就是将有规律变化的无限小量求其的和。
我们还可以来看一个实例——
【例4】
我们可以通过图形研究来解决这个问题，如图，若将一个正方形视为1，那么二分之一图形、四分之一图形、八分之一图形、十六分之一图形、……之和就趋近与那个正方形1。
有了极限思维方式，对物理学中研究的瞬时（即时）速度就可很容易地理解了，如图：
现要研究物体通过A点位置或那个时刻的速度，显然用实验的方式（再先进的高科技手段）也是无法测到的。但是物体过A点再通过B点之间的平均速度V<AB>是很容易测出的——测量AB间距离s；测出物体通过AB区间的时间t，物体在AB间的平均速度为s/t。
让所研究的B点逐渐靠近A点，即取B<1>、B<2>、B<3>、B<4>、B<5>、……，那么AB<1>、AB<2>、AB<3>、AB<4>、AB<5>、……各区间的平均速度是可以测量的。当B<n>点无限地逼近A点，即t无限地趋近于零时，可以说，AB<n>区间的平均速度就是物体通过A点的瞬时（即时）速度。因为AB<n>区间的距离已经小到用再先进的测量仪器无法测出，物体经过AB<n>区间所用的时间小到用再先进的测量仪器也无法测出。
物理学中定义的瞬时（即时）速度就是应用极限思想，加以分析推理而得出的。
人类对微观世界的认识也很能说明问题。
物理学在研究物质内部结构时，就介绍了人类对微观认识的进程——从19世纪以前，人们已经认为物质是由分子构成（包括直接由原子构成）；汤姆逊在研究阴极射线管时发现了电子，进一步说明原子是可分，电子是从原子内部发出的；英国物理学家卢瑟福在用α粒子轰击金箔的实验中，构建了原子核式结构模型，否定了汤姆逊提出的原子枣糕模型，他认为原子是由原子核和围绕原子核不停旋转的核外电子构成；丹麦物理学家玻尔又在量子力学的基础上，提出了新的原子模型（关于原子轨道、半径、能级不连续）。
在这里大家对物质微观世界要有个大概认识——分子大小的数量级在10^－10米，即为一米的百亿分之一。纳米技术中，其长度单位纳米即为毫微米，就是10^－9米，即十亿分之一米。即1纳米的长度上可以容纳十几个分子。原子是由原子核及核外电子构成，原子核大小的数量级在10^－15米。原子核又由质子与中子构成。
当代物理学前沿是粒子物理学（高能物理学），它是研究微观世界中比原子核更深层次的物质的结构、性质和在很高能量下，这些物质相互转化的现象以及产生这些现象的原因和规律。
粒子物理学初期的研究认为：物质是由一些基本粒子构成，而基本粒子是指组成物质的不能再分割的基本单元。随着对物质微观的进一步研究，近一个世纪人们对基本粒子的认识经历了几次重大改变——在19世纪末以前，人们认为原子是构成物质的基本单元，但随着原子核在1911年的发现及其后中子在1932年的发现，人们认识到原子是由质子、中子和电子组成的，原子不再是组成物质的基本单元。1937年以后，人们把光子、电子、质子、中子、中微子和陆续发现的介子等，称为基本粒子。此后，由于能量越来越高、束流越来越强的加速器的建立，实验上也相继出现了灵敏度高、强有力的探测器，发现了很多新粒子，同时在实验中确认质子、中子等是有内部结构的。这时人们认识到它们也不可能是组成物质的基本单元。1964年以后，开始提出中子、质子等强子是由夸克组成的，强子结构的夸克模型已经取得了很大成就。
近年来，越来越多的物理学家认为基本粒子这个名称是不确切的，组成物质的最基本单元可能并不存在，物质是无限可分的。物理学界倾向于把基本粒子改称为粒子，把基本粒子物理学改称为粒子物理学。
最后我们来看一道很有意思的物理题：
【例5】A、B两列火车在同一水平直路上以相同速率v = 30km/h相向而行，当它们相距60km时，一鸟以60km/h的恒定速率离开A飞向B，当到达B后立即返回，如此往返不止（鸟的体积忽略不计）。试求：
⑴鸟在A、B间往返第一个来回时间是多少？
⑵鸟总共飞行了多少时间与距离？
⑶到两车相遇鸟往返了多少次？
分析解答：
⑴鸟在A、B间往返第一个来回时间
⑵鸟总共飞行的时间即为两车相遇的时间t，若求出t（已知鸟飞行速率），可求鸟总共飞行的距离。
以上为等比数列，依求和公式可得：t = 1h
鸟总共飞行的距离 s = vt = 60×1 = 60km
⑶从极限的思想考虑，到两车相遇鸟往返了无穷多次（就是两车相距无限的近，体积可以忽略的鸟还是可以在这无限小的空间中飞行往返）。
实际上这个问题还可以变形成这样的问题——一个体积可以忽略的小球在两堵逐渐靠近的墙之间来回弹性碰撞。
物质可以无限地分下去，这体现了辩证唯物主义思想，是符合客观世界的规律的。