数学科普：两图是否≌不能凭肉眼直观而须严格证明——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的伪≌直线
——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的伪≌直线
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]图A≌A这一初等几何最最起码常识及数集最起码常识凸显放大（拉伸）变换前、后的直线必不重合——表明几何科普知识:“有无穷多个公共点的直线必重合”其实是将无穷多各异直线误为同一线的“以井代天”的“井底蛙”误区。
[关键词]伪≌、伪重合直线；将无穷多各异假R误为R；放大、缩小的相似变换
因本文的论据是太浅显的数集最起码常识和初等几何最最起码常识，故中学生也有能力分辨本文是歪理邪说还是...。
1.图A≌A这一初等几何最最起码常识凸显拉伸变换前、后的直线必不重合——保距变换概念让2300都无人能识的伪重合直线一下子露出原形
初等几何2300年“最起码常识”：有无穷多个公共点的直线必重合。据此有初中几何的直线公理即希尔伯特的《几何基础》中的公理（有书“证明”这是定理）：过空间两异位置点有且只能有一条直线。直线A有两异元点a和b，另一直线≠A经运动变为通过a和b的直线B，据直线公理A=B，于是有“定理”：凡直线必≌。
设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A；其余类推。“实数集”R各元x均有对应标准实数2x、xn（n≥2）等等。同一字母x可代表各不同的数，同样为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集，其余类推。
本文中集合均至少有两元。定义：若数集A可保距变为B则称A≌B（设各数是数轴上点的坐标）。显然A≌A。数（点）集最起码常识：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元与B各元可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应）则称A=B；若除了对应相等的元以外其余各元可一一对应近似相等则A≈B。本文最关键论据之一：若A与B是同一集则A必可（不是“只可”）恒等变换地变为B=A。
天体力学中的地球可是质点。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0），此x变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在管道g内即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一质点）。R可形象化为R轴, R各数x可形象化为R轴各点，变数可形象化为g内动点。
有了解析几何就能从数、数量关系的高度上来精确地认识图形及图形的变换。人的骨头C得了骨质疏松病变为D，肉眼看C=D，但其实两者有根本区别。点集A与B是否≌不能凭肉眼直观而须严格证明,保距变换概念是能放大无穷大倍的思维显微（望远）镜。数学图形可是离散的点的点集。由3个点组成的A=｛…｝中两端点不动，中点往左偏移但保持在两端点之间就使A变形为没中点的B不≌A；点还是这些点∈A，但其不保距地改变位置后形成的点集与A有不同的“长相”。
复平面z=x+iy可放大成平面2z=2x+i2y=u+iv从而使z面的x轴被放大为u=2x轴。R各元x不保距变为y=1.001x组成｛y｝（y的值域）的几何意义是R轴即x轴各元点x沿管道g不保距平移即不保距地改变位置变为点x+δ=y=1.001x形成元为点y的y=1.001x轴即x轴拉伸（放大）变换为y=1.001x轴（不≌x轴）叠压在x轴上。其余类推。中学数学认定y轴=x轴（自有函数概念几百年来数学一直有函数“常识”：R各元x的对应数1.001x的全体是R），因有直线公理。其实这是肉眼直观错觉。显然R各元x只可与各对应数y=1.001x=x+0.001x∈｛y｝中的x一一对应相等而与各y=（1+0.001）x≈x本身一一对应近似相等（x=0时1.001x=0）：x↔1.001x≈x（x=0时1.001x=0）。在放大变换：x↔1.001x（>x>0）中显然当且仅当放大系数1.001变为1时才是恒等变换。各x变为y=x（y≈x）是恒等（近似恒等）变换；因“≈”与“=”不能同时成立故x轴近似恒等变换地变为y=1.001x（≈x）轴≠x轴。
如[1]所述，“一一对应”中的“一”的含义之一：一个不漏。“对R一个不漏的一切正数元x都有对应y=1.001x>x>0”就是说式中y>0可>R一切正数x而取R外数，关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含义。所以R各元x的对应数y=1.001x∈｛y｝中必有y=1.001x是R外数而不可与R任何数x对应相等（从而使R各元x与各对应y=1.001x不可一一对应相等）。所以中学的“R各元x的对应数y=1.001x均∈R，”是违反不等式起码常识的一厢情愿。
在放大、缩小变换：x↔kx（↔两边的x是同一x）中当且仅当放缩系数（正常数）k=1时才是恒等变换（k≈1时是近似恒等变换），即当且仅当k=1时各x与各对应数kx才能一一对应相等。所以应有
h几何起码常识:至少有两个元点的图A均匀放大（缩小）变为B（不≌A）必≠A（因A不可恒等变换地变为B）——推翻直线公理。
“无界”的曲、直线互不≌从而更不相等。“无界”的“整数点集”Z={x=±n}（n∈“自然数集”N）={...，-2，-1，0，1，2，...（各数是数轴上点的坐标）}(可看成是“虚直线”：.......)各元点x=±n∈R轴不保距平移变为点x+δ=2x=±2n形成｛±2n｝(虚直线)不≌Z从而更≠Z。中学的“图A≌A”说明A变为B=A≌A不一定是恒等变换但一定是保距变换。
h定理1：数（点）集A=B的必要条件是A≌B。
证：A=B必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换，所以B=A的必要条件是B≌A。注：若点集B=A≌A则B与A大小与形状都相同即B≌A。证毕。
据h定理1及h几何起码常识x轴即R轴A不保距地伸缩（放大、缩小）变为B（不≌A）≠A可变为无穷多各异直线相互叠压在一起形成平行直线丛（各线互不≌）；而直线公理使中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异线（数轴）误为同一线（轴）：A。
据h定理1x轴即R轴各元点x不保距平移变为点y=x+δ=xn (常数n是奇数3，5，... )生成元为点y的y=xn轴（即x轴非均匀伸缩变换为y=xn轴不≌x轴）≠x轴，中学几百年“y轴=x轴（即：R各元x的对应数xn 的全体是R）”是肉眼直观错觉。...。同理中学一直将无穷多各互不≌的射线x≥0、y(x)=xk≥0（正常数k≠1）、ψ(x)=kx≥0、...，误为同一线。...。可见h定理1使2300（300）年初等几何（解析几何）一直未能识的伪重合直（射）线一下子露出原形。
2.直线公理严重歪曲了事物的本来面目
复平面z=x+iy可收缩成平面0.5z=0.5x+i0.5y=u+iv从而使z面的x轴被收缩为u=0.5x轴。研究图形A的投影T非常重要，T随A的连续运动而连续运动。电灯在断电之前一直都那么亮，而手电筒的光亮度是随着电池的电量的减少而逐渐减弱直至无光亮的；后者是有序渐变。复平面z=x+iy的x轴即直线z=x绕点z=0逆时针旋转α角（00≤α≤900）变为直线B：直线z′=x（cosα+isinα）=xcosα+ixsinα=u+iv（相应有u=xcosα轴），α=00时直线B=x轴而在x轴的正投影T=x轴，转角α由00→900时使B由∥x轴变到⊥x轴，B在x轴的正投影T随之就从T=x轴开始连续不断地收缩变换成T=u（=xcosα）轴（0≤cosα≤1），最后收缩成只有一个元u=xcos900=0的点集T=｛点u=0｝。有无穷多个元的直线T与只有一个元的｛点u=0｝有无穷大的差别。T由直线（x轴）收缩变化最后变为只有一个元的点集这种有序连续变化的变化规律必是：T先与x轴有较小的差别（α≈00时）然后再有较大的差别，最后有无穷大的差别，正如可=0的有序连续变化的变数x由正数变为负数时必先=0然后才能=负数一样，正如一人不经过儿童期就绝不可进入少年期一样。可见连续运动、变化的有序渐变的性质从一侧面表明x轴保序收缩变换为u（=xcosα）轴（正常数cosα<1）必≠x轴。据直线公理说直线T=x轴在收缩成只有一个元的点集之前的各次收缩变换后总=x轴（注：运动的直线可暂时固定一下），无异于说T的收缩变化不是有序连续变化。这直线公理严重歪曲了事物的本来面目，正如“一个什么都不懂的婴儿在变为科学家之前的几十年间一直≡婴儿，只要其达到一定年龄的某一天就突变成科学家。”严重歪曲了事物的本来面目一样。产生逻辑悖论是因主观认识与客观实际不符。正确反映现实世界的空间形式与数量关系从而正确反映有序连续变化的变化规律的数学，才是真正的数学。由错误的公理推出的“定理”必是伪定理。
公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理说明人类认识与研究几何学的直线段起码已有3000多年。因直线由直线段组成故有伪≌、伪重合直线自然就有3000年都无人能识的伪≌、伪重合直线段。详论见拙文《百年病态集论的症结：几百年将两异直线段误为同一线段》
3.结束语
“肉眼”数学因目光太短浅从而一直被无穷对象中的假象迷惑。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造5千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：从“肉眼”数学一下子突变成科学慧眼数学。
参考文献
[1]黄小宁。不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J]，数学学习与研究，2016（5）:151。
[2]黄小宁。初等数学2300年之重大错误：将无穷多各异点集误为同一集——让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的直线段[J]，考试周刊，2018（71）:58。