这道题也许并没有那么复杂（多方法）

题目

为了让计算更加顺利，没有改动太多，具体的数值忘了，所以为了凑个比较好计算的数据，给BC赋值5.

这道题的图可能有些同学见过，或许以前看过老师分享的类似题目，都是三角形内部一个点和三个顶点相连，来构造图形旋转构图。当然，可能看过的大部分同学已经毕业上高中去了，所以现在看到这题目的同学们可能会感觉比较陌生。而且这道题为了增加难度，给出的是锐角三角函数值，而不是PB和PC的长度，算是让大家多费点事儿吧。

在讲解这道题之前，老师带同学们先了解一下这类题型如何入手，以及以前分享的的那道题目后面再给同学们贴出来。

在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，P是△ABC内一点，使得PA=11，PB=7，PC=6，求边AC的长；

以前分享的这道题目，题中给出的是P到各顶点的距离长度，所以将△PCB绕点C顺时针旋转90°，可以结合勾股定理解决。

那么我们不妨也用老方法来试试今天这道题，

将△PAC顺时针旋转90°，则AC边旋转至AB重合，点P落在Q点处

那么△PAQ为等腰直角无疑问，而且BQ=PC。

同时PB和PC都可以结合条件求出，但是PQ是多少我们不知道，或者说就是PA未知，所以还是要先解决PA，才能知道PQ，进而才能判定△PQB形状。

又或者是先搞定△PBQ，再解决PA长度，究竟如何，必须要先试试看。

我们过P向BC做垂线PD，

则BD=3PD，CD=2PD，

所以PD=1，BD=3，CD=2

那么PB和PC都可以利用勾股定理搞定，

有同学可能会说，BQ知道了，BC也知道，那么CQ不就可以用勾股定理解决了吗？但是C、P、Q这三点在不在一条线上我们还不知道呢，而∠BQP是不是90°也不知道，所以 都需要我们先找到证明条件之后才可以利用。

我们知道了∠ABQ是∠ACP旋转过去的，所以二者相等，

而∠ACP和∠BCP相加为45°，

所以∠ABQ+∠BCP=45°，

再结合∠ABC=45°，

所以∠BQC=９０°，看着怎么这么顺利呢？

Ｑ、P、C三点我们不知道是不是共线呀，所以上面这些过程怎么来的呢？有些同学肯定会这么写的，所以老师专门列出来提醒一下。没有共线，我们就无法得到90°成立。

所以我们换个方法，既然第一小题是求PA的长度，我们就来解决PA吧。

我们知道了点P的位置，那么可以确定P是一个定点，而A也是一个定点，

所以我们可以过A向BC作垂线，将PA放入直角三角形中，

如图，过A做AE⊥BC于E，过P做PQ⊥AE于Q，

则AE=2.5，PQ=DE=3-2.5=0.5

AQ=AE-PD=1.5

在Rt△APQ中，AQ和PQ已知，则AP可得；

当求出PA之后，再解决∠BPA的度数就简单多了，

比如利用AB、PB、PA长度验证勾股定理；

或者求出tan∠PAQ，发现其与tan∠PBC相等，而∠PBC和∠BPQ内错角相等，

得到∠APB为90°；

这是比较简单的两个方法，但前提是已经解决了PA的长度；

如果第一小题的PA并没有顺利解决，那么该怎么办？

或者说想不到几何方法来解决PA，那么我们可以剑走偏锋，使用坐标系来搞定。

既然P的位置和A的位置固定，那么我们就可以表示出它们的坐标，利用坐标间的距离来计算出PA即可；

比如以B为原点，BC所在直线为x轴，过B垂直于BC的直线为y轴建立坐标系，

写出P和A的坐标，则PA可得；

而∠BPA同样可以用勾股定理来解决；

又或者使用PB和PA的一次函数直线垂直关系来解决都行；

具体的过程就不提供了，有兴趣自己动手试试。

有些时候已知条件并不是图形上那样看着像就一定成立，当然这道题前面的假设是可以后来验证成立的，但是没有得到结论之前，我们是无法直接使用的，所以再老方法无法有效解决问题时，我们就要马上换位思考，寻找其他途径。