算术与算数
《孙子兵法·计篇》（成书于公元前512年左右）曰：夫未战而庙算胜者，得算多也；未战而庙算不胜者，得算少也。多算胜，少算不胜，而况无算乎？可见，战前“庙算”或“算”是非常重要的。庙算，指古代用兵、征讨之前，在祖庙里举行祭祀与授权仪式，并与宗祖“讨论”作战之规划等问题。在六十四卦中，“火山旅”卦（
）“九四”爻曰：旅于处，得其资斧，我心不快。以及“双风巽”卦（
）“上九”爻曰：丧其资斧，贞凶。其中所提及资斧之“斧”，正是“庙算”仪式中某种授权之信物。
中国古代之文字系统本身十分简洁，但寥寥数句，含义却十分丰富而深刻，往往使后人解读时头痛万分，难辨其真义，赞叹感慨之余，复加诚惶诚恐。子曰：“书不尽言，言不尽意。”是以圣人“设卦观象”，正如《易经·系辞上》所言：圣人立象以尽意，设卦以尽情伪，系辞焉以尽其言，变而通之以尽利，鼓之舞之以尽神。从中国数学史可知，中国古代早期之数学以“算”为主，因此有关“算”字之词语比比皆是，如：神算、妙算、盘算、计算、谋算、胜算、打算、划算、失算、测算、推算、暗算、老谋深算、神机妙算、能掐会算、掐指一算、人算不如天算、机关算尽太聪明……。而“算”之对象就是“数”，因此有关“数”之词语，亦比比皆是，如天数、气数、命数、运数、岁数、套数、路数、礼数、定数、心中有数、在数难逃……。至于算数的法门，就称为“术”。因此，在中国古代早期，算数、算术、术数、数术，基本上是同义同理的。当今之数学家、科学家大都认为，数学是自然科学之基石，也是人类认识世间万物与发展科技之重要而不可替代之工具。故唯有理性地应用数学，才能服务于社会。实际上，《易经》早就告诉我们，数学除了应用之广泛性外，还具有思维之抽象性与理论之严谨性。因此，数学不单只能被应用，还应该继续其抽象与严谨，发展其固有之数理规律。不难理解，后世之算卦、卜卦系统，正是由此而生的。《汉书·艺文志》曰：数术者，皆明堂、羲和、史、卜之职也。并将数术家分为天文家、历谱家、五行家、蓍龟家、杂占家、形法家六大派。天文家研究星象，测算日月星辰之运行，观测气候；历谱家侧重于分四时、定节气，推算日月星辰之行度以记时日，并兼修古代帝王年谱；五行家研究阴阳五行之变化、推衍，总结出万物相生相克之规律；蓍龟家研究龟卜、蓍筮之术，为国家行为、决策提供重要参考依据；杂占家根据各种事物之迹象，推知善恶之征兆，包括占梦、求福、除妖、祈雨等；形法家研究勘舆地理、风水、相术等。以上六家术数，皆以自然比附人事，据自然现象推断吉凶灾祥，并为君王施政提供参考。可见，数学在中国古代早期是有地位者才有资格研习的，如周文王姬昌本人便是其中之佼佼者。《汉书·艺文志》录有“数术百九十家，二千五百二十八卷”，可谓人才鼎盛、作品繁多。时至今日，那些著作大多已经亡佚。据考证，今存之《山海经》亦为数术家之代表作，作者不详，内容主要为民间传说中之地理知识。从数术之用途与研究数术者之地位可以看出，数术利用阴阳变化以及五行生克等规律，来推断万事万物之吉凶，在中国古代早期几乎就是治国平天下之术。早期之数术家对中国古代思想、文化与社会生活之影响巨大，在西汉及更早期之知识体系中，数术是一套广为流行且具有实际功效之技术与观念，今日观之则科学知识与迷信法术兼具，并与宗教信仰密切相关。由于后世数术家与阴阳家、方技家多有关联，有时三者界限并不清晰，后世亦逐渐将诸家合流。是以今日但凡说起“算卦”，科学工作者便嗤之以鼻，以之为妄谈。更有甚者，不分青红皂白，便将之与“算命”视为同等之迷信。这实际上甚不公平。据作者统计，在《易经》之卦象里，占筮有上吉、初吉、终吉、利、无咎、无悔、悔吝咎、不利、凶以及大凶等。统计结果如下表所示，不难看到，其中不算差之断语占71%，不算好之断语占29%（其中真正之凶卦只占17%），这与变化的随机性出入甚大（随机吉凶应该各占50%）。很多学者认为，《易经》之真正意图，并不在于教人怎样卜卦算命，而是极力表达了一种积极向上、自强不息与厚德载物之思想。其主要目的，在于培养人们当修养达到一定高度之后对事物进行判断之能力。可见，算命是否迷信姑且不论，而算卦却是既数学、哲学，亦科学的。表1.1：《易经》中卦爻辞之吉凶论断及其频率论断大吉吉利无咎无悔不利悔吝咎凶大凶频数21128124655627频率4%43%24%12%11%6%事实上，数确实可以算！如：火箭升空、卫星发射、雷达定位、车速测量等问题。在运动定律尚未出现之前，人们只怕无法理解为什么有人能知道某时刻某个被研究对象之位置与速度。随着现代数学与物理学之发展，人类知识日渐丰富，今天已可做到“算”得很精确。当今之科学工作者，已经达成这一共识：计算科学、理论与实验，共同构成了现代科学的三大支柱。既然要计算，那怎么可能不用到数与数学呢？再如近一百年发展起来之天气预报，主要有天气图预报、统计预报与动力学预报等方法。统计预报是以概率论为基础，根据预报量与预报因子之回归方程，看其在概率上是否已达到某种置信水平。动力学预报是最主要之方法，其原理其实就是利用几个微分或差分方程通过一些初值条件来预测未来几天之天气状况，利用耗散系统之差分方程
只要给出初始时刻之各层天气图资料，则可确定未来某时刻之气压、气温、湿度、自然风等分布情况。这种预报若对初始值掌握越精确，则预报之准确度会越高。再举一例，来说明“算”之威力。喜欢看现代侦探体裁作品之人一定见识过该场景：警察或法医在死者身上先后测了两次体温，就能估算出该死者之死亡时间。若在古代，这属于神探之传说；但在近代以后，这种事确实是可以“算”的。设某日23:00时，公安局接到某处有新死尸体之报案，法医于23:35赶到现场，立即测得死者尸体体温为30.8℃，一小时后再次测得体温为29.1℃，法医还注意到当时室温是28℃。根据热力学之冷却定律，可知温度之变化率与温差成正比，若假设表示死者时刻（单位：小时）之体温，表示23:00之前之死亡时间，则有微分方程
求解后代入已知测量值，可推算出死者之死亡时间为23点前之36分钟多一点，即处于22:23至22:24之间。古代某些破案者之所以会被神化，是因为那时绝大多数人不知道冷却定律及相应之数学算法。而传说之流传，必然引起大众之迷信。其实这些所谓之迷信，有些是由于计算能力或思维敏捷度引起的。通过以上数例，似乎可以这样认为：今日之科学学者斥之为迷信之部分理论，很可能都不是真正的迷信，而不过是今日之“算术”尚未炉火纯青、更未登峰造极而已。至于中国古代经典哲学中被当代一些学者评论为糟粕之学说，也可能并非糟粕。中国传统文化深受《易经》之影响，数学亦如此。蓍草法、算筹法、枚占法、算盘法等，被广泛应用于各行各业，因此很多原来仅与算术相关之词汇使用甚广，如筹算、筹划、筹谋、筹措、筹款、筹建、筹备、运筹、统筹、略胜一筹、一筹莫展等。这些词汇充满了计算学、统计学、运筹学等诸多与数学有关之知识，并使得老百姓深信，胸有成竹、心中有数，总是上上之策。《易经·说卦》曰：昔者圣人之作《易》也，幽赞神明而生蓍，参天两地而倚数，观变于阴阳而立卦，发挥于刚柔而生爻；和顺于道德而理于义，穷理尽性以至于命。……天地定位，山泽通气，雷风相薄，水火不相射，八卦相错。数往者顺，知来者逆；是故，《易》逆数也。因为历数往者（过去）为顺，知晓来者（未来）为逆。故《易经》之作用，就是逆爻序（从下往上）而推未来。《易经·系辞上》曰：参伍以变，错综其数。通其变，遂成天地之文；极其数，遂定天下之象。非天下之致变，其孰能与于此！其中，“参”通假大写之“叁”字（上文“参天两地”亦同理），“参伍以变”，指的就是算数之变化。《易经》认为，若能把握算数变化之道，并将其发挥至极致，则可贯通天地。（战国）屈原在《卜居》中曰：数有所不逮，神有所不通。虽然其认为也有“数”达不到的，但其仍将“数”与“神”并列，即其很可能认为，“数”是具有神通的。《汉书·律历志》曰：数者，一、十、百、千、万也，所以算数十五、顺性命之理也。《黄帝内经·素问·上古天真论篇第一》曰：上古之人，其知道者，法于阴阳，和于术数。（南宋）秦九韶在《数书九章·序》中对数学评价曰：大则可以通神明，顺性命；小则可以经世物，类万物。这些有关“算”或“数”之记载或论述，在中国古代著作中不计其数。由于它们被尊为能知过去未来，因此很容易引起人们对其加以重视甚至膜拜。如（南宋）沈作吉在《寓简·卷二》中曰：物之成败皆寓乎数。知数者以数知之，知道者以道知之。物不能离乎数，数不能离乎道。以数知之则通矣，以道知之则玄矣。而（北宋）邵雍在《皇极经世·观物外篇衍义》中曰：气不离乎数，特人不见耳！故曰：非数之不行也，有数而不见也。以上论述，说明“数”与“道”相通，为万物不可分离之根本属性。数始终是依物之存在而对应存在的，其并非孤立之抽象。这一点与西方数学之风格差异甚巨。