2021捷克-斯洛伐克-波兰-奥地利联合竞赛 中文翻译

第一天

1.求所有的四元正整数组 , 使得, 且

2.锐角中, 内切圆与边切于点. 设表示角所对的旁心, 为的中点. 求证: 的外接圆与相切.

3.对两个顶点互不相同的凸多边形 和 , 设他们的位于对方的边上的顶点总数为 . 对, 求
{与为凸边形}

第二天

4.求满足以下条件的元正整数组的个数:
正整数为其中一项, 且相邻两项的差不超过.

5.数列中, , 且对 , 满足如下递推关系:
若, 则, 否则.
求证: 对所有正整数, 均有

6.锐角中, 点 , 按顺序分布在其三条边上. 设 过的圆与过 的圆再次交于点, 并类似的定义点. 已知 ,  这三个点互异, 且不共线. 求证: 直线过同一个点, 且这个点在的外接圆上.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。