五年级：美妙数学之“表面涂色”（0428五）

表面涂色问题

美妙数学天天见，每天进步多一点！亲爱的同学们：你们好！我是来自宁波市镇海蛟川双语小学的郑永达老师，今天我们一起探究的是“表面涂色问题”。

把一个长方体、正方体表面涂色后，切成小正方体，表面涂色的情况有几种？每种情况各有几个小正方体呢？

有三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的以及没涂色的四种情况。

每种情况各有几个小正方体，需要根据具体情况来分析。

那就让我们一起来探索吧！

表面涂色问题

探索规律（1）

三面涂色的小正方体各有多少个？

三面涂色的小正方体都有8个。

我发现：三面涂色的都在大正方体的顶点处，所以三面涂色的个数=顶点数。

从位置去探索表面涂色问题，你说得很对！

探索规律（2）

两面涂色的小正方体各有多少个？

图1              图2                 图3                      图4

我来说吧！

两面涂色的都在每条棱的中间，图1每条棱上只有顶点处的2个小正方体，所以没有两面涂色的小正方体；图2每条棱上有3个小正方体，减去2个顶点，还有1个两面涂色的小正方体，12条棱就有12个；图3每条棱上有2个两面涂色的小正方体，2×12=24（个）；图4两面涂色的共有3×12=36（个）。

通过观察，我发现：

两面涂色的小正方体的个数=12×（棱长－2）

这个方法非常好！把问题变得简单多了。

探索规律（3）

一面涂色的小正方体各有多少个？

一面涂色的每个面的中间，每边的个数比大正方体每边的个数少2。大正方体每边有n个，那一面涂色的个数=6（n-2）²

你还会用字母来表示你发现的规律，真是太棒了！

探索规律（4）

没有涂色的小正方体各有多少个？

图1                      图2                                 图3

通过观察，我发现：

没有涂色的小正方体在正方体的中心，也组成了一个正方体，只是每条棱上的个数比原来的少了2，原正方体每条棱上有n个，那没涂色的的正方体每条棱上就有（n-2）个，所以没涂色的个数=(n-2)³。

图1有(3-2)³=1（个），图2有(4-2)³=8（个），图3有(5-2)³=27（个），对吗？

你们两个都非常善于动脑！通过观察发现了表面涂色问题的规律。只要你善于观察，勤于动脑，你将会发现很多数学的规律和奥秘！

课后补充

数学上并不缺少规律，只是缺少发现规律的眼睛。只要你善于观察，你将会发现更多数学的奥秘！

留给大家一个小问题：

有一个长12厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体，它的六个面都涂有红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。那这个长方体三面涂色、两面涂色、一面涂色、没涂色的小正方体各有多少个？

制作：郑永达  审核：王世彦