用热力学原理推导出爱因斯坦的引力方程,引力的另一种视角
图1,根据感应引力理论,时空连续体可以看作是某些基本微观结构的宏观极限。在这里,我们将研究物理学家泰德·雅各布森提出的一个思想,即爱因斯坦的引力可以从热力学中得到
图2,法国物理学家萨迪·卡诺被认为是热力学之父,被认为是热力学的奠基人
时空中的熵和视界
方程1,贝肯斯坦-霍金熵。
G是万有引力常数,在牛顿万有引力定律和爱因斯坦万有引力理论中需要计算万有引力效应。 h是普朗克常数,将光子的能量与其频率联系起来(光子是光的粒子)。 k是玻尔兹曼常数,是将气体中粒子的平均动能与其热力学温度联系起来的比例因子。
图3,贝肯斯坦-霍金熵是归因于黑洞的熵,它与视界面积的1/4成比例。
德西特(dS)空间中的宇宙学视界 伦德勒时空中依赖观测者的视界(一个代表闵可夫斯基时空的坐标系统,它描述了匀加速观测者)。这种类型的视界,在这里是中心,有一个熵和一个温度。后者与观察者的加速度成正比,它的存在暗示着时空本身编码了热力学信息。
图四,雅各布·贝肯斯坦和斯蒂芬·霍金,第一个证明黑洞的热力学熵与其事件视界的面积成正比的人。
我相信,黑洞和热力学之间的关系为我们提供了目前关于引力、热力学和量子物理本质的最深刻的见解。——罗伯特·瓦尔德
这个观点表明,量子化爱因斯坦方程可能并不比量子化空气中声音的波动方程更合适。
泰德·雅各布森和爱因斯坦的状态方程
初步的概念
图5:一个二维流形M带有λ参数化的曲线γ
方程2:曲线γ在M上的坐标,被λ参数化。
方程3,沿圆柱体表面螺旋线的曲线坐标的λ参数化方程。
图6,由方程3给出的曲线。
方程4,函数f沿γ曲线随λ参数的变化。
方程5,矢量和对偶矢量的分量。
图7,在P点,与流形相切的平面以及切向量
方程6
张量
方程7,(2,0)型张量的一个简单例子。
方程8,一般(2,0)型张量的一个例子。
方程9,一个二阶逆变张量在坐标变换后是如何变化的。
方程10,混合张量的分量在坐标变换后如何变化。
李导数
图8,挪威数学家马略·索普斯·李和他最重要的论文《变形理论》的头版。
图9,时空区域内的向量场A,两个点x和x+dx在该区域内,一个包含两个点的曲线γ,和一个与γ相切的向量。
方程11,坐标的无限小变化(图9)。
方程12
方程13
方程14,对偶向量A沿着曲线γ的李导数的定义。
方程15,对偶向量A的李导数的几何定义。
图10,上面描述的几何结构。
方程16,写成张量对象的李导数。
方程17,对偶向量A沿着曲线γ的李导数。
方程18,A在某些特定的坐标系中并不依赖于x⁰。
方程19,A不变的x⁰曲线集的切向量
图11,在A不变的地方,x⁰继续增加的曲线集。
方程20,向量A沿切向量U曲线的李导数。
方程21
用坐标表示是方程18 以协变的方式来说明,当向量场U与x⁰所在的坐标对齐时,Lie导数为零。
方程22,以协变的方式表示,当在时空中的某个方向(在这种情况下是U)平移时A是不变的。
图12,德国数学家Wilhelm Killing和他的论文。该论文被加拿大著名数学家A. J. Coleman认为是“五十年来他读过或听说过的最重要的数学论文”。
基灵矢量和对称性
方程23,基灵矢量的定义
方程24,基灵矢量服从的条件。
方程25,用上述方程可以很容易地证明这个方程,它给出了沿测地线运动的常数。
方程26
方程27
方程28,方程26用球坐标表示。
图13,方程28中变量的定义
方程30
方程31,球对称时空。
方程32
方程33,沿测地线u相切的两个常数。
基灵视界
方程34,在闵可夫斯基时空中产生x方向升力的基灵向量。
方程35
方程36,与方程35对应的零面。
方程37,表面引力κ的定义。
伦德勒楔
方程38,RNC在p点处的度规。
方程39
方程40,过去和未来光片上z方向的坐标。
图14,伦德勒楔。
方程42,安鲁温度
导出状态方程
图15,一个由时间坐标t参数化的类空间
方程43,切向量沿着全等性向未来递增。
公式44
方程45,局部伦德勒视界的表面元素。
图16,文本中描述的几何结构的插图。
方程46
方程47,当δQ与H交叉时,H的面积变化。
方程48,视界产生点的面积变化。
方程49,克劳修斯关系式
方程50
方程51
方程52,熵变。
方程53,爱因斯坦的运动方程作为状态方程。
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