康威与平面几何
英国数学家约翰·康威于2020年4月11日因新冠肺炎并发症在美国新不伦瑞克市（普林斯顿附近）的老人疗养院去世，终年82岁。康威的去世震惊了整个数学界。他在数学上的成就是全面性的。他的研究领域包括有限群、趣味数学、纽结理论、数论、代数、分析、算法组合博弈论、编码学和理论物理学等范畴。我们在本文中介绍他在平面几何方面的一些工作，以此纪念这位伟大的数学家。
1. 康威圆定理
图1. 康威和康威圆/科瓦诺娃
大数学家康威最引以为豪的是他的生命游戏。其实康威引以为豪的还有很多，其中就包括一个平面几何定理“康威圆”（Conway’s Circle）定理。有一次俄罗斯裔数学家谭雅·科瓦诺娃看到他穿了一件印有这个康威圆定理的图案，坚持让他把身子转过去背对着她，可怜的康威先生就一直这样站着，直到科瓦诺娃想出了证明。
图2. 康威圆
如图2，假定我们有一个三角形。三个边的边长为，和。从向做延长线并在延长线上取点使得，以此类推得点和。那么这个定理说：这六个点共圆。康威圆的半径为：
它的圆心就是内切圆的圆心。如果我们记为内切圆的半径，为三角形的半周长，那么还有一个用和表达的更简洁的公式。
康威圆始于康威发起的一个几何社交群。他在那个群里发布了这个问题。后来人们就把它称为了康威圆。他在与网友们讨论时还指出，当延申的距离分别为 和时结论仍然成立，其中是使得和都大于零的任意实数。
2. 康威与平面几何
图3. 三角形非周期平铺/维基百科
康威曾经对平面几何入迷。康威发现边长为和的直角三角形可以分割成五个全等的直角三角形并且它们都与原来的三角形相似。后来美国数学家查理·拉丁由此构造出了第一个平面的三角形非周期平铺（pinwheel tiling），而且这些三角形的方向有无穷多。在同一个几何社交群里，康威发现，康威发现平分三角形面积的线段并不都通过三角形的重心。这似乎违背了人们的直觉。事实上，如果对三角形用任意直线按等面积切割的话，那么这些直线会形成一个像三尖瓣线（deltoid curve）内部的几何区域（如图4）。康威甚至计算了这个区域的面积，它等于，其中是三角形的面积。
图4. 三尖瓣线内部区域/维基百科
康威与美国数学家彼得·道尔给出了莫雷角三分线定理的初等证明。莫雷角三分线定理是说，对一个任意的三角形，其三个内角作角三分线，靠近公共边三分线的三个交点，是一个等边三角形。康威的证明在他写的著名文章“数学的力量”（The Power of Mathematics）中（图5）。
图5. 莫雷角三分线定理/康威
读者一定会联想到，一个任意三角形的三个内角角平分线相交于一个点。这个点就是内切圆的圆心。为了把这两个定理叙述成一个统一的形式，让我们换一种叙述。
图6. 和时的示意图
在二等分角的情况里，记，假定有三个角满足。取，，，再做三个三角形。它们是：以为内角的三角形，以为内角的三角形和以为内角的三角形。则可以在适当伸缩后使得它们拼成一个以为内角的三角形。
在三等分角的情况里，记，假定有三个角满足。取，，，，，，再做七个三角形。这七个三角形如图6所示，我们不再赘述。那么可以在适当伸缩后使得它们拼成一个以为内角的三角形。
图7. n=4和n=5时的示意图/道尔和塞提
注意这个新的描述就是康威的证明思想。用这个描述，我们可以把结果推广到任意的的情形去（图7）。
康威自认为是一个经典几何学家，这毫不夸张。康威对几何的爱好始于他的高中时代。那时候他一直保存着一本笔记本，上面都是他自己有关三角形的发现。他甚至曾经计划出一本三角形形状的关于三角形的书，标题可能就是“三角形”（The Triangle Book）。那会多么有趣。可惜他计划中的合作者、一位高中数学老师斯蒂夫·西古尔意外去世，现在他自己也去世了，不知这本书是否还有面世的机会？
再来看一个奇怪的房形图案。为了方便起见，我们就把它称为康威小屋。
图8. 康威小屋
康威小屋不是康威本人发现的。一开始人们考虑的是在一个单位正方形中嵌入一个最大的等边三角形（图8左图中的下半部分）。显然这个三角形必须与正方形的四个边都相接。于是其中一个三角形的顶点就必须落在正方形的一个角上。在这个顶点上，等边三角形的两个边与正方形的两个边的夹角是（图7左图，看着是不是眼熟？）。可以算得，这个三角形的面积是。这个值正好是单位等边三角形中最大正方形的边长。这个结论看似神奇。但康威把单位等边三角形放到正方形的上面，然后随手画了一个平行四边形，一下把这个问题解决了（图7右图）。他画的平行四边形就像是从阁楼上安了一个下楼的楼梯。它的面积跟等边三角形的面积相等。
我们再来介绍一个康威和俄裔美国数学家亚历山大·索弗（Alexander Soifer, 1948-）的一篇在《美国数学月刊》上发表的论文：“个单位等边三角形是否可以覆盖一个边长大于，例如，的等边三角形？”它的正文只有两个词“可以”和两幅图片：
图9. 康威论文中的两幅图片
这个问题是索弗在访问普林斯顿大学时向同事们提出的。康威立即表示了兴趣。在飞往一个会议的飞机上，康威得到了图9中的左图，即用个等边三角形可以做到。它随后把结果告诉给索弗。索弗在另一次航班上得到了右图，也是个，但覆盖方法却是完全不同的。当他们讨论投稿时，康威决定要破一次最短论文的记录：两个词的标题 + 两复图的文章。他们的稿件惊呆了编辑。怎么也得写上两行字吧？索弗反问到：“数量和质量之间有联系吗？”经过一番周折，月刊终于同意发表，但私做主张写了一个长长的标题，然后把原来的两个词移到了文章里。注意这里等边三角形是一个重要的条件，否则的话 可以做出个三角形满足要求。
康威在几何上的贡献还有很多，比如康威多面体表示法（Conway polyhedron notation）、密铺数学理论的康威准则（Conway criterion）等等。他还为三角形创造了一个词“extraversion”。这个词的原意是外向性或外侵性。但他在这里的意思是将一个三角形翻转。
3. 康威圆定理的证明
现在让我们回到康威的六点共圆定理的证明。证明的过程对于推广的康威圆也适用，但我们仅限于对经典的情况这证明（即）。我们只需要证明点到这六个点的距离相等。
图10.
证明的思路是证明从点到点和的距离都相等。
如图10.，取点为和的中点。在三角形中，是中线，并且。所以，垂直于且是的角平分线。
因为，我们知道，在所连的直线上。于是，。类似地，我们有。
图11.
现在取N为和的中点（见图11）。在三角形中，我们有且。因此，是的垂直平分线，也是的角平分线。因为也是，而是内切圆的中心，所以在上。因为垂直平分，我们知道，。类似地，和。
从上面两段推理，我们得出结论，和六点共圆且圆心就是内切圆的中心。
参考文献
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Sid J. Kolpas (Delaware County Community College), 'Mathematical Treasure: James A. Garfield's Proof of the Pythagorean Theorem,' Convergence (February 2016).
Ravi Vakil (January 1996). A Mathematical Mosaic: Patterns & Problem Solving. Brendan Kelly Publishing Inc. pp. 87–. ISBN 978-1-895997-04-0.
C. P. McKeague and M.D. Turner (1 January 2016). Trigonometry. Cengage Learning. pp. 124–. ISBN 978-1-305-65222-4.
J. Conway: The Power of Mathematics, http://thewe.net/math/conway.pdf .
P. Doyle and S. Sethi, Conway’s doughnuts, arXiv:1804.04024v1.
N. Dergiades and T.Q. Hung, On Some Extensions of Morley's Trisector Theorem, arXiv:2005.08723v1.
John H. Conway & Alexander Soifer, Can unit equilateral triangles cover an equilateral triangle of side n' data-formula-type='inline-equation'>, say ?
注：本文曾发表在《数学通报》上。这里做了一些改动。