如何构造平行四边形解几何证明题

【方法技巧】

将线段进行平移，可构造平行四边形，借助构造的平行四边形可以得到相等的边、平行线，从而得到全等三角形.

【典型例题1】

已知点A，C分别是∠B的两条边上的点，点D，E分别是直线BA，BC上的点，直线AE，CD相交于点P

(1)点D，E分别在线段BA，线段BC上

①如图1，若∠B＝60°，且AD＝BE，BD＝CE，则∠APD的度数是60°;

②如图2，若∠B＝90°，且AD＝BC，BD＝CE，求∠APD的度数

(2)如图3，点D，E分别在线段AB，BC的延长线上，若∠ABC＝90°，AD＝BC，∠APD＝45°，求证:BD＝CE

【思路分析】

(1)①连接AC，易证△CBD≌△ACE，

∴∠BCD＝∠CAE，

∴∠APD＝∠CAE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝60°;

②过点A作AF⊥AB，且AF＝BD，连接DF，CF，

可证△FAD≌△DBC(SAS)，△FDC为等腰直角三角形，

四边形AECF是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD＝∠DCF＝45°;

(2)过点A作AF⊥AB，取AF＝BD，连接DF，CF，易证△FAD≌△DBC(SAS)，四边形AECF是平行四边形∴AF＝CE.又∵AF＝BD∴BD＝CE.

(3)作AF⊥AB于点A，且AF＝BD，△AFD≌△BDC，∴FD＝DC，

∴∠FDA＝∠DCB，∠DCB＋∠BDC＝∠FDA＋∠HIC＝90°，

∴△FIC为等腰直角三角形，∠FCD＝45°－∠APD，∴FC∥AP，又AF∥CE

∴四边形AECF为平行四边形∴CE＝AF＝BD

【典型例题2】 

如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，若AD＝BC＝CE＝DE.求证:∠BAC＝100°

【思路分析】

作□DBCF，证△ADE≌△CEF后转化求角.典型的平行构造与全等构造相结合

【答案解析】