初中数学重难点突破之辅助线系列(三 ) / 开普饭

一、基本解题思路方法

见历史文章：

揭秘最基本的题目思路分析方法

初中数学重难点突破（一）

初中数学重难点突破（二）

二、辅助线的应用

为了证（解）题的需要，在原图上所添画的线叫辅助线。在平面几何里的辅助线通常要画成虚线。它的作用是：把题中分散的条件集中起来，把隐含的条件显现出来，以便于为应用公理、定理或等量转化等创造必要的条件。这样辅助线便起了一个牵线搭桥的作用。

辅助线做法：法1.垂直平分连两端.法2.构造特殊三角形.

初中数学重难点突破（一）

初中数学重难点突破（二）

【典型题1】已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,求线段BC的长.

【思路分析】正向推导，从题目条件进行分析，根据已知“CD是∠ACB的平分线”，在BC边上截取CE＝AC，构造全等三角形，将BC等代转化为AE+EB，为后续计算提供便利条件.

【答案解析】如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE，易证△ACD≌△ECD(SAS)（证明过程略.）∴AD＝DE ， ∠A＝∠1 ，∵∠A＝2∠B，∴∠1＝2∠B，可得 ∴∠B＝∠EDB，

∴EB＝ED ， ∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝24.

【规律总结】当已知条件中出现如本题图CD为∠ACB的角平分线、AD不具备特殊位置时，辅助线的作法一般为在BC边上截取CE＝AC，连结DE即可构造全等三角形，利用全等条件解决问题.

【典型题2】

（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.

（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，并说明理由.

【思路分析】本题从结论入手分析，证明线段和差的不等式，文章开头我们就总结到：“在证明线段和（或差)的不等式时,总是把各有关线段“等代转化”在一个或几个三角形中,然后利用三角形三边关系定理来解决”因此需要做辅助线进行线段的等代转化.辅助线做法如上题：截取线段，构造全等三角形.

【答案解析】

(1)PB+PC＞AB+AC证明：在BA的延长线上取点E, 使AE＝AC,连接PE，∵AD平分∠CAE∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,

AP＝AP，∴△AEP≌△ACP （SAS），∴PE＝PC∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC

(2)AC-AB>PC-PB

证明:在△ABC中, 在AC上取一点E,使AE=AB ，∴AC-AE=AB-AC=BE ∵AD平分∠BAC ，∴∠EAP=∠BAP ，在△AEP和△ACP中 ∴△AEP≌△ABP (SAS) ，∴PE=PB ，∵在△CPE中 CE>CP-PE ，∴AC-AB>PC-PB

【规律总结】1.在证明线段和（或差)的不等式时,总是把各有关线段“等代转化”在一个或几个三角形中,然后利用三角形三边关系定理来解决.

2.辅助线做法：截取线段，构造全等三角形.

如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA

未完待续...