初中数学精讲（第三期）从有理数开始

各位同学、朋友们大家好：今天我们开始进入初中数学的学习，人教版初中数学共六本书，从第三期开始我们将从七年级开始讲解。

学习初中数学首先是从认数开始的，初中数学的基础是建立在小学数学基础上的，小学数学是从认识数字开始的；今天我们先来思考一个问题，什么是数？

各位同学请注意：第一、“数”是量度事物的概念。是客观存在的量的意识表述。”数字“起源于原始人类用来数数计数的记号形成自然数“数”的符号，是人类最伟大的发明之一，是人类精确描述事物的基础。若干年以前，人类的祖先为了生存，往往几十人在一起，过着群居的生活。他们白天共同劳动，搜捕野兽、飞禽或采集果薯食物；晚上住在洞穴里，共同享用劳动所得。在长期的共同劳动和生活中，他们之间逐渐到了有些什么非说不可的地步，于是产生了语言。他们能用简单的语言夹杂手势，来表达感情和交流思想。随着劳动内容的发展，他们的语言也不断发展，终于超过了一切其他动物的语言。其中的主要标志之一，就是语言包含了算术的色彩。人类先是产生了“数”的朦胧概念。他们狩猎而归，猎物或有或无，于是有了“有”与“无”两个概念。连续几天“无”兽可捕，就没有肉吃了，“有”、“无”的概念便逐渐加深。后来，群居发展为部落。部落由一些成员很少的家庭组成。所谓“有”，就分为“一”、“二”、“三”、“多”等四种（有的部落甚至连“三”也没有）。任何大于“三”的数量，他们都理解为“多”或者“一堆”、“一群”。关于更多数字的由来同学们可以查阅相关资料。

自然数；在数东西的时候，数出的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、…叫自然数。自然数有数量、次序两层含义，分为基数、序数。基本单位为1，计数单位有个、十、百、千、万等自然数的分类：按“能否被2整除”可分为：奇数、偶数。按“因数个数”可分为：质数、合数。同学们请记住：自然数是整数，但整数不全是自然数。总之一句话自然数就是大于等于0的整数。全体非负整数组成的集合称为非负整数集（即自然数集）。在数学里也无时无刻不存在着，加与减，乘与除，指数与对数，等差与等比，虚数与实数，0和1，无穷和有限，正数和负数，平面和立体，导数和积分等等；他们对立统一，和谐共存，他们是一种美，等我我们去认知和探寻；中小学数学概念中，运用逆向思维的方法比比皆是：伸长与缩短、扩大与缩小、上升与下降、无穷大与无穷小、高与低、上与下、同向与异向、增与减、归类和分类、定义域与值域、原函数与反函数初中，高中阶段的只是要求掌握数的分类，见下图：

进入初中阶段学习，有必要复习一下，小学阶段关于数的知识：（一）数的认识1整数【正数、0、负数】一、一个物体也没有，用0表示。0和1、2、3……都是自然数。自然数是整数。二、最小的一位数是1，最小的自然数是0。三、零上4摄氏度记作+4℃；零下4摄氏度记作-4℃。“+4”读作正四。“-4”读作负四。+4也可以写成4。四、像 +4、19、+8844这样的数都是正数。像-4、-11、-7、-155这样的数都是负数。五、0既不是正数，也不是负数。正数都大于0，负数都小于0。2小数【有限小数、无限小数】一、分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……二、整数和小数都是按照十进制计数法写出的数，个、十、百……以及十分之一、百分之一……都是计数单位。每相邻两个计数单位间的进率都是10。三、每个计数单位所占的位置，叫做数位。数位是按照一定的顺序排列的。四、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。五、根据小数的性质，通常可以去掉小数末尾的“0”，把小数化简。六、比较小数大小的一般方法：先比较整数部分的数，再依次比较小数部分十分位上的数，百分位上的数，千分位上的数，从左往右，如果哪个数位上的数大，这个小数就大。七、把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数，在万位或亿位右边点上小数点，再在数的后面添写“万”字或“亿”字。八、求小数近似数的一般方法：1先要弄清保留几位小数；2根据需要确定看哪一位上的数；3用“四舍五入”的方法求得结果。九、整数和小数的数位顺序表：

3分数【真分数、假分数】一、把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数，是这个分数的分数单位。二、两个数相除，它们的商可以用分数表示。即：a÷b=a/b（b≠0）三、小数和分数的意义可以看出，小数实际上就是分母是10、100、1000…的分数。四、分数可以分为真分数和假分数。五、分子小于分母的分数叫做真分数。真分数小于1。六、分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。七、分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。八、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。九、小数的性质和分数的基本性质一致的，应用分数的基本性质，可以通分和约分。4百分数一、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比，百分数通常用“%”表示。二、分数与百分数比较：不同点相同点分  数可以表示具体数量，可以有单位名称表示两个数之间的关系百分数不可以表示具体数量，不可以有单位名称三、分数、小数、百分数的互化。（1）把分数化成小数，用分数的分子除以分母。（2）把小数化成分数，先改写成分母是10、100、1000……的分数，再约分。（3）把小数化成百分数，先把小数点向右移动两位，然后添上百分号。（4）把百分数化成小数，先去掉百分号，然后把小数点向左移动两位。（5）把分数化成百分数，先把分数化成小数（除不尽时通常保留三位小数），再把小数化成百分数。（6）把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。5因数与倍数【素数、合数、奇数、偶数】一、4 × 3 = 12，12是4的倍数，12也是3的倍数，4和3都是12的因数。二、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。三、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数因数的个数是有限的。四、5的倍数：个位上的数是5或0。2的倍数：个位上的数是2、4、6、8或0。2的倍数都是双数。3的倍数：各位上数的和一定是3的倍数。五、是2的倍数的数叫做偶数。不是2的倍数的数叫做奇数。六、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数就叫做素数（或质数）。七、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数就叫做合数。八、在1—20这些数中： （1既不是素数，也不是合数）奇数：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。偶数：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。素数：2、3、5、7、11、13、17、19。（共8个，和为77。）合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。（共11个，和为132。）九、最小的奇数是1，最小的偶数是0，最小的素数是2，最小的合数是4。十、如果两个数是倍数关系，则大数是最小公倍数，小数是最大公因数。十一、如果两个数只有公因数1，则最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

（二）数的运算1计算法则【整数、小数、分数】一、计算整数加、减法要把相同数位对齐，从低位算起。二、计算小数加、减法要把小数点对齐，从低位算起。三、小数乘法：1、先按整数乘法算出积是多少，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。2、注意：在积里点小数点时，位数不够的，要在前面用0补足。四、小数除法：1、商的小数点要和被除数的小数点对齐；2、有余数时，要在后面添0，继续往下除；3、个位不够商1时，要在商的整数部分写0，点上小数点，再继续除。4、把除数转化成整数时，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位。5、当被除数的小数位数少于除数的小数位数时，要在被除数的末尾用0补足。五、一个小数乘10、100、1000……只要把这个小数的小数点向右移动一位、两位、三位……六、一个小数除以10、100、1000……只要把这个小数的小数点向左移动一位、两位、三位……七、分数加、减法：1同分母分数相加减，把分子相加减，分母不变。2异分母分数相加减，要先通分化成同分母分数，然后再相加减。八、分数大小的比较：1同分母分数相比较，分子大的大，分子小的小。2异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。更多学习资料请关注ABC微课堂九、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。十、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。2简便计算一、运算定律：运算定律用字母表示加法交换律a＋b=b＋a加法结合律（a＋b）＋c=a＋(b＋c)乘法交换律a×b=b×a乘法结合律（a×b）×c=a×(b×c)乘法分配律（a＋b）×c=a×c＋b×c减法运算规律a－b－c=a－（b＋c）除法运算规律a÷b÷c=a÷（b×c）二、乘、除法的互化。（小技巧：符号是相反的；两个数相乘得“1”。）（1）A÷0.1=A×10（2）A×0.1=A÷10（7）A÷0.01=A×100；（8）A×0.01=A÷100（3）A÷0.2=A×5（4）A×0.2=A÷5（9）A÷0.25=A×4（10）A×0.25=A÷4（5）A÷0.5=A×2（6）A×0.5=A÷2（11）A÷0.125=A×8（12）A×0.125=A÷8三、求近似数的方法。①四舍五入法。②进一法。 ③去尾法。四、积与因数、商与被除数的大小比较：第2个因数>1,积>第1个因数；第2个因数=1,积=第1个因数；第2个因数<1,积<第1个因数。除数>1，商<被除数；除数=1，商=被除数；除数<1，商>被除数；

（三）式与方程01用字母表示数一、在一个含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母相乘时，中间的乘号可以记作“· ”，也可以省略不写。在省略数字与字母之间的乘号时，要把数字写在字母的前面。二、2a与a2意义不同：2a表示两个a相加，a2表示两个a相乘。即：2a=a＋a，a2= a×a。三、用字母表示数：①用字母表示任意数：如X=4   a=6②用字母表示常见的数量关系：如s=vt③用字母表示运算定律：如a＋b=b＋a④用字母表示计算公式：S=ah02方程与等式一、含有未知数的等式叫做方程。二、使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。三、求方程的解的过程，叫做解方程。四、方程和等式的联系与区别：方   程等   式联 系方程一定是等式，等式不一定是方程区 别含有未知数不一定含有未知数五、等式的基本性质（一）： 等式两边同时加上（或减去）一个相同的数，所得结果仍然是等式。六、等式的基本性质（二）： 等式两边同时乘（或除以）一个不等于零的数，所得结果仍然是等式。（四）正比例与反比例1比和比例一、比和比例的联系与区别：比与比例的区别1、意义不同比的意义两个数相除又叫做两个数的比。比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。2、名称不同比的名称两点读作比，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比例的名称组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的的外项，中间的两项叫做比例的内项。3、性质不同比的性质比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变。比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。4、应用不同应用比的意义求比值。应用比的性质化简比。应用比例的意义判断两个不能否组成比例。应用比例的性质不但可以判断两个比能否组成比例，还可以解比例。二、比同分数、除法的联系与区别：比分数除法联系前项分子被除数比号分数线除号后项分母除数比值分数值商比的基本性质分数的基本性质除法的商不变性质区别比表示两个数之间的关系。分数表示一个数。除法表示一种运算。三、求比值与化简比的区别：一 般 方 法结    果求比值根据比值的意义，用前项除以后项。是一个数。可以是整数、小数或分数。化简比根据比的基本性质，把比的前项和后项都乘或除以相同的数（零除外）。是一个比。它的前项和后项都是整数，并且是互质数。四、化简比：①整数比的化简方法是：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。②小数比的化简方法是：先把小数比化成整数比，再按整数比化简方法化简。③分数比的化简方法是：用比的前项和后项同时乘以分母的最小公倍数。五、比例尺：我们把图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺。六、比例尺=图上距离︰实际距离   比例尺 = 图上距离 / 实际距离2正比例、反比例一、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。二、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。三、正比例与反比例的区别：正 比 例反 比 例相 同 点都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。不 同 点商一定y/x= k（一定）积一定x×y=k（一定）

初中数学的学习是非常枯燥的，数学的学习是一个循序渐进的过程。所学知识都是由简单到复杂，由浅入深，课程也会相应增加。这就要求同学们在学习的过程中，不仅要将所学的知识牢记于心，更要在学习的过程中，找好一个适合自己的学习方法以及学习兴趣了。其实初中数学无外乎也就是对公式定理的掌握以及运用。那么今天，我为大家准备的代数知识，请大家学习并训练为后面的学习打下基础。有理数的概念定义：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。概况：有理数为整数和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零有理数的计算法则1）、有理数加法法则1.同号两数相加，把绝对值相加，所得值符号不变。如-1+(-1)=-|1+1|=-2 、 1.1+1.1=2.22.异号两数相加，若绝对值不等，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。若绝对值相等即互为相反数的两个数相加得0。如-1+2=+|2-1|=12+(-3)=-|3-2|=-1-3.2+3.2=03.一个数同0相加，仍得这个数。3.14+0=3.14注意：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。从而确定用那一条法则。在应用过程中，一定要牢记“先符号,后绝对值”，熟练以后就不会出错了。多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。2）、有理数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数。两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数做加数。一不变：被减数不变。可以表示成：a－b=a+（－b）。3）、有理数乘法法则1.两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。2.任何数同0相乘，都得0。3.乘积为1的两个有理数互为倒数。4.几个不是0的数相乘，负因数得个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。5.几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。4）、有理数除法则1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。3.0除以任何一个不等于0的数，都得0。注意：0不能做除数。5）混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果是同级运算，则按照从左到右的顺序依次计算。有理数的分类（1）按有理数的定义：正整数整数{     零负整数有理数{正分数分数{负分数（2）按有理数的性质分类:正整数正数{正分数有理数{  零负整数负数{负分数有理数的练习1.下列命题中不正确的是（     ）A. 整数和有限小数统称为有理数B. 无理数都是无限小数C. 数轴上的点表示的数都是实数D. 实数包括正实数，负实数和零2.下列说法中正确的是（     ）A．正数和负数互为相反数B．0是最小的整数C．在数轴上表示+4的点与表示﹣3的点之间相距1个单位长度D．所有有理数都可以用数轴上的点表示3.下列说法：①0 是绝对值最小的有理数；②相反数大于自身的数是负数；③数轴上原点两侧的数互为相反数；④两个数相互比较绝对值大的反而小．其中正确的是（     ）A．①②B．①③C．①②③D．②③④4.下列说法正确的是（     ）A．有理数都是有限小数B．无理数都是无限小数C．带根号的数都是无理数D．数轴上任何一点都表示有理数5.下列说法中，正确的是（     ）A．有理数分为正有理数和负有理数B．在数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边C．任何有理数的绝对值都是正数D．互为相反数的两个数的绝对值相等6.下列说法正确的是（     ）A．有理数分为正数和负数B．是所有的有理数都能用数轴上的点表示C．若数轴上的点A在点B的右边，则点A比表示的数比点B表示的数小D．有理数中，没有最大的有理数，也没有最小的有理数7.下列说法正确的有（     ）①最大的负整数是﹣1；②数轴上表示数2和﹣2的点到原点的距离相等；③有理数分为正有理数和负有理数；④a+5一定比a大；⑤在数轴上7与9之间的有理数是8．A．2个B．3个C．4个D．5个8.根据以下各数：+2，-（+4），

，|-3.5|，0，-3，回答问题。（1）上面各数中，正分数有：______，负整数有：________，整数有：_______。（2）在数轴上表示上面各数，再用“<”号把各数连接起来。答案：A   D   A   B   D   D   B解：（1）正分数有：

；负整数有：-（+4），-3；整数有：+2，-（+4），0，-3；（2）解：数轴如下：

-（+4）<-3<0<+2<

<|-3.5|。本期课堂回顾：什么是数，什么是代数？什么是有理数？有理数的分类，运算以及在数轴上的表示方法。