中考数学:几何探究压轴题
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题目有一定的难度,都在第三小题的计算上;
解析:
(1)这一小题送分部分,学三角形的时候肯定都遇到过这个证明题,可知∠A=2∠E;
(2)要证明这个遥望角,就按照题干给出的定义去证明即可
所以我们得把外角补充一下
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只要证明BE和CE是角平分线即可
首先∠DCH是圆内接四边形ABCD的外角
所以∠DCH=∠BAD
而根据等弧对等角可知∠ACD=∠BAD
所以可得CE是∠ACH的平分线
接下来证明BE,
首先有∠ABF=∠ADF
而∠EDF,如果连接AF,则可得∠EDF=∠CAF=∠CBF
结合已知DF是角平分线
所以可得∠ABF=∠CBF
那么结合两条角平分线,可得∠E是∠BAC的遥望角;
(3)这一小题如果路子不对,是要费很大劲儿的
①根据已知条件可知没有角度,唯一能够得到的角度就是直径所对的圆周角
那么观察∠AED可直接预判45°;
要证明45°角,直接证明等腰直角三角形即可
可以连接BD
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根据条件可知AD=BD,那么只要BD和DE相等即可
由前面可知∠BAC=2∠BED
那么要证明角BAC也是∠DBE的2倍,我们需要构造2倍角
所以我们延长BD,利用三角形的外角来构造2倍角
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根据四边形ABDF内接,可得∠FDM=∠BAF
而∠EDF=∠ADF=∠ABF=∠CBF=∠CAF
所以∠EDM=∠BAC=2∠BED
因此∠EBD=∠BED
则BD=DE=AD
而∠ADE=90°
所以△ADE为等腰直角
那么∠AED=45°;
②求三角形的面积,那么少不了底和高
DF、EF、DE三条边,根据图形也知道选DE当做底比较好
所以做出高
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现在有底和高了,那么就需要求出二者的长度
题中给出的是AB和CD,看似根本不着边,但是我们仔细观察点D,根据已知条件可知连接OD就可以垂直平分AB,那么可知D到BC的距离为4
那么我们过D做BC的垂线
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可知CD=5,DP=4,则CP=3,刚好是3、4、5的Rt三角形
结合∠ACD=∠DCP,可知AD:AC:CD=4:5:3
可得AD=20/3=DE
DE长度得到了,还差FN,而FN在△DFN中,根据条件可知△DNF是等腰直角,所以FN=DN,那么只需要搞定DN即可
DN=CN-CD
则需要CN长度,那么我们就需要借助CE了
所以CE=35/3
那么N的位置如何确认,如果是中点就好了,刚好这个FN是我们做的垂线,如果能够三线合一不就行了吗
那么连接CF试试
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如果CF=EF,则我们需要的条件都能成立
根据BF是平分线,可得AF=CF
而结合前面的DF是∠ADE的平分线,同时△ADE是等腰直角,那么三线合一,DF垂直平分AE,那么AF=EF
所以CF=EF成立
那么N为CE中点
所以CN=35/6
则DN=FN=CN-CD=5/6
所以S△DEF=DE·FN/2=25/9;
如果上面的方法你想不出来,那么也可以用下面这个方法,将DF当做底,因为DF是是等腰直角三角形的角平分线,所以我们只需要延长DF即可
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顺便连接CF,毕竟得知道AF或EF长度才能确认DF的长度
根据△ACF是等腰直角
只要知道AC长度也就是直径,即可得到AF
而AC在刚才我们得到△ACD中345比例后可以求出,不再提供数据
所以AF可以求得,而结合AD的长度可知AM
那么勾股定理可得MF,
由AM=MD可得DF长度
所以,以DF为底,EM为高,则可求得△DEF的面积;