数与图(14)——微积分初步
在我上高中的年代，在高中的最后阶段，数学课里介绍了极限和导数的概念，好像还有幂函数的求导方法。真正开始学习微积分是在大学一年级，是高等数学的第一门课程。
高等数学的教学过程总是伴随着大量的证明以及公式推导，这个过程体现了数学的严谨性，维护了数学体系的完整与完美，但是它却蒙蔽了数学的趣味性和真实感。在离开大学很多年之后的今天，当我想把程序和微积分联系起来的时候，我才开始思考什么是微积分，为什么我们需要微积分，如何让一个初中生，甚至小学生也能理解微积分的概念。在经过一番思索之后，我似乎窥见了一丝端倪，于是拿来与大家分享。
要分享的内容分为三个主题：
什么是微积分
微积分的计算方法
为什么需要微积分
以上三个主题将分三期加以阐述。
一、什么是微积分
首先要明确“微积分”是一种运算，就跟四则运算一样。四则运算包括了加、减、乘、除四种运算，而微积分包含了求导和积分两种运算。参与四则运算的元素是数字，而参与微积分运算的元素是函数。函数描述的是两个（或多个）变量之间的关系：给定一个x，就有唯一的y与之对应。通用的函数可以表示为 y=f(x)，x称作自变量，y称作函数，也叫因变量，f则表示x与y之间的转换关系。之前我们讨论的幂函数就可以进行微积分运算。
1、微分
在微积分课程里，还有一个重要的概念就是微分，要理解求导和积分，首先要理解微分。形容词“微”表明了微积分运算的主要特征，微即微小、微观。把我们将要研究的函数绘制成曲线，然后将曲线上的某一点D放在显微镜下观察，当放大倍数足够大时，D点周围的曲线就变成了直线，取D附近的一个线段d。将d分别投影到x轴和y轴，就得到了dx和dy，如图1所示。
图1 微分的含义
图1中所标注的dx和dy就被称作微分，在进行微积分运算时，dx是对x轴的局部进行等分后的长度，而dy是两个等分点之间y的差值。
2、导数
在图1中，用dy除以dx，得到函数在D点的导数值，求导数值的过程叫做求导，导数是线段d所在的直线的斜率，它表示曲线在D点的陡度。这时如果增加显微镜的放大倍数，会发现线段d所在的直线与函数的曲线有两个交点，于是我们可以继续让线段d变短，从而使dx变小，当dx趋近于0时，线段d所在的直线与曲线的两个交点趋于重叠，当交点重叠时，直线与曲线相切，此时的导数是曲线在D点的切线的斜率，即，图1中夹角α的正切值tanα。
3、积分
简单地说，积分运算就是求面积的运算：在x轴上指定一个区间[x1, x2]，求该区间内x轴与曲线所包围的面积，这里简称为曲线面积，如图2所示，积分约等于图中若干个红色矩形的面积之和，每个红色矩形的面积等于ya*dx，ya是曲线在dx范围内y的平均值。用这种方式求得的面积，与曲线面积之间有一定的误差，误差大小与dx的长度有关，当dx趋近于0时，ya的值趋近于y，则矩形面积之和趋近于曲线面积，即，真正的积分值。
图2 理解微积的含义
导数与积分分别表现函数不同侧面的特性，导数关注的是函数的局部特性，它表示函数曲线上某个点y值的变化速度，而积分关注的是一段区间内的特性，是函数值的累积特性。我们可以简单地将求导运算与除法运算相对照对：参与除法运算的元素是数字，而参与求导运算的元素是函数，确切地说，是函数的微分除以自变量的微分，即dy/dx。同样，可以把积分运算与加法、乘法运算相对照：积分是一系列的“微面积”之和，而“微面积”是y与dx之积。
理解了微积分的定义，就可以从定义演绎出计算方法。在下一篇文章中，我们将以幂函数为例，用程序方法来展示微积分的求解过程。
注：本文中的图1与图2取自于《数与图（9）——幂函数曲线》中的图6。