甘井子区平面几何模拟题探秘-大连2020年的中考之旅

「回顾篇」

前两天，老贾和大家一起品评了中山区与沙河口区2019-2020九年级上学期的期末平面几何压轴题。并且，老贾也指出了两种备考思路，也是命题思路。

在这里将重点再重复一下：

①应用已有的证明n等分点的“竞赛级”几何题进行补全梯形，构造出应用相似三角形解决的新题型；

②将已有的基本图形或基本的几何变换进行部分删减，增加一条或几条直线，构造梅涅劳斯定理基本图形，从而形成一道应用相似三角形解决的新题型。当然，类似于塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理以及常见的射影定理也可以应用其中。

关于上述两种思路，读者朋友也可以在公众号里面的本文之前的两篇文章中读到详细内容。

「解析篇」

今天我们一起来探秘一下第三种中考几何压轴题命题思路，这种思路也是老贾认为最靠谱、最优水平的命题思路。

• 原题

在△ABC中，∠ACB=90°，BC=k AC，点D在AC上，连接BD.

（1）如图1，当k=1时，BD的延长线垂直于AE，垂足为E，延长BC、AE交于点F.

求证：CD=CF；

（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，连接AG并延长交BC于点H.

①如图2，若CH=2/5CD，探究线段AG与GH的数量关系（含k的代数式表示），并证明；

②如图3，若点D是AC的中点，直接写出cos∠CGH的值（用含k的代数式表示）.

• 分析

这道题目之所以说是一道非常不错的题目，是因为他将一个基本图形进行了非常简单的修改，然后隐去了一些重要的信息，以此增加难度。不仅考察了相似这个知识点，而且也考察了学生的几何变换思维。此外这道题目也考察了学生全等的构造。

同时，这道题的第（2）问的②还考察了学生解三角形的能力，即一个不在直角三角形内的角的三角函数值如何求解。可以说是一道题目把整个初中的所有几何知识（除了圆）以及解决几何问题的基本能力都考察了。真可以说是一道非常不错的平面几何压轴题！2019年的中考第25题亦有异曲同工之妙，我们将在下回短文当中详细解读此事。为了方便老贾随后的解说，老贾先将这道题目的参考答案提供给带大家：

• 解答

（1）证明：

∵∠ACB=90°，BE⊥AF，∴∠ACB=∠ACF=∠AEB =90°.

∵∠ADE+∠EAD =∠BDC+∠DBC =90°， ∠ADE=∠BDC，

∴∠DBC.=∠EAD

∵BC=AC，

∴△BCD≌△ACF.

∴CD=CF.

（2）①AG=(5/2k)×GH.过点A作AM∥BC，交CG延长线于点M，

∵∠ACB=90°，CG⊥BD，

∴∠CAM =∠ACB =90°，∠CGB=90°. ∵∠1+∠BCG=∠2+∠BCG=90°，

∴∠1=∠2.

∴△ACM∽△CBD

∴AM/CD=AC/CB=1/k.

∵CH=(2/5)CD，

∴设CD=2a，则CH=(4/5)a.

∴AM=(2a/k).

∵AM∥BC，

∴AM/CH=AG/GH=(2a/k)/(4a/5)=5/2k.

即AG=(5/2k)GH.

②cos∠CGH=[k√(1+k2)]/(1+k2)

「总结篇」

当大家看完答案之后，有没有觉得这道题的第（2）问的①很像我们平时经常见到的几何图形呢？保留了题目的辅助线，将AH删掉，是不是就是我们在解决相似问题时常用的“旋转型”变换？

这一类图形有很多可以用的结论，其中也包括射影定理。连接AG并延长交BC于H，则又出现了一个新的“8”字型相似。

将两个相似基本图形融合到一道题目当中，足见出题人之细心！至于②，虽然没有给出解题过程，只给出了一个答案，但是其思想也是不言而喻的，即利用中位线与相似，结合射影定理，将α转化到直角三角形AGQ中，便可以求出AQ/QG，进而可以球出号cos∠CGH。

当然，②还有另外的解法。由于D是AC边的重点，我们很容易联想到“遇中点，可双垂”。我们过A点作BG的垂线叫BG延长线于M，我们可以发现∠CGH与∠MAG相等（两直线平行，同位角相等）△MAD≌△GCD。而在△MAD中，其三边关系是显而易见的，所以，②又变成了全等与相似的完美结合！

可惜白璧微瑕，这道题出的有一个致命的缺点：就是（1）！！！这个（1）出的，不仅没有起到对（2）的任何引导作用，反而起到了极大的误导！如果考生将（1）的图形当做了后面的辅助线，其不备坑死了？

如果（1）改为“试找出与∠CBD相等的角，并证明”，那么这道题可以说是一道优秀的25题范本！即一步一步引到考生。当然，也不能因此否定这道题的质量。甘区25题即没有像中山那样，选择一道超难的全国联赛题进行改编，又没有像沙区25那样，“得梅涅劳斯定理者胜”。

甘区的25巧妙地将几何变换、相似以及全等和基本图形进行结合，难度适中偏难，即可以区分梯度，又能够考察“纲内知识”。

至于高新园区的平面几何压轴题属于“新瓶装旧酒”，完全是一道练习册上的题目换了说法，老贾实在是不想点评。此外，西岗区的平面几何压轴题难度太低，即使没有“提示”，考生也容易想到辅助线的作法，对中考的压轴题参考价值不大。这两道题老贾将在下次的文章中给出答案并简单点评一二。