实实系数二次方程实根分布问题中参数范围的求法

确定实系数二次方程实根分布问题中参数的取值范围是高中数学教学的重点和难点，也是历年高考考查的热点，它涉及的数学思想方法较多，综合性较强，解决此类题的主要思路是从对应函数的开口方向、特殊点函数值的正负、对称轴位置、判别式与０的关系等几个角度综合考虑后构建充要条件，从而求出参数的取值范围．本文结合实例介绍这方面题目的几种类型及其求解策略，供大家参考．为叙述方便，本 文 约 定，当 实 系 数 二 次 方 程

有两个实根时，设两个实根为ｘ１、ｘ２．

类型一 方程的两个实根均小于常数ｋ 此种类型的求解策略是：令f(x)=

，则

因此，实数ｂ的取值范围为（５，６］．

评注 上述变式相当于方程的两个实根均小于０，因此构建充要条件的方式不变．

类型二 方程的两个实根均大于常数ｋ此种类型的求解策略是：令f(x)=

，则

因此，实数 ｍ 的取值范围为（０，１）．

评注:对于例２，若尝试从

角度去求解 ｍ 的取值范围，则运算量会明显大于上述解法的运算量．

类型三 方程的一个实根大于常数ｋ，另一个实根小于ｋ 此种类型的求解策略是：令f(x)=

，则

评注 变式中一元二次方程有一正一负两个实根，在本质上仍然是一个实根大于常数ｋ，另一个小于ｋ，只不过常数ｋ＝０．

类型四 方程在区间（ｋ１，ｋ２）内有且仅有一个根此种类型的求解策略是：令f(x)=

，则

或

综上所 述，满 足 题 意 的 实 数ａ 的取 值 范 围 为（１，３］．

综上所述，满足题意的实 数 ｍ 的取 值 范 围 为

评注 从上面两个题目的解析过程可以看出， “方程在某区间内有且仅有一个实根”与“在某区间内有且仅有一个数值满足方程”存在着本质区别，那就是是否需要把Δ＝０考虑进去．另外，例４在检验ａ＝ １或ａ＝３时采用的方法与其变式在检验ｍ＝－１５/１４或 ｍ ＝－３时采用的方法均可供对方使用．

类型五 方程在区间（ｋ１，ｋ２）内有两个根此种类型的求解策略是：令f(x)=

，则

评注 此种类型的题目较为容易，但在构建充要条件后的运算量较大．另外，解题时切忌漏掉Δ＝０的情形．

类型六 两根分别在区间（－ ∞，ｋ１）与（ｋ２， ＋ ∞）（ｋ１＜ｋ２）内 此种类型的求解策略是：令f(x)=

，则

切 忌 把 充 要 条 件 写 成

若ｘ ＝０，则可推得ａ ＝０，显然不合题意，所以原方程有四个非零 解，同 时 使 得 一 元 二 次 方 程ｆ（ｔ） ＝０必有两个正根，由此进一步得知原方程的四个根是两对相反数．又因原方程有一个根小于 －２，则其必有一根大于２，故方程ｆ（ｔ）＝０必有一根大于４，又因原方程的另外两根不再落在区间（－ ∞， －２）与（２，＋∞）内，所以另外两根是分别在（－１， ０）与（０，１）内的相反数，故方程ｆ（ｔ）＝０的另外一根在区间（０，１）内，因 此 可 列 出 相 应 的 充 要 条 件