浅评牛顿《原理》第一编第五章

牛顿的《原理》体系宏大，内容精深，是人类历史上的不朽之作。本文仅对第一编第五章略作点评。

这一章主要处理的是圆锥曲线作图问题，即如何做出符合条件的圆锥曲线上的点。全章包括 11 个引理和 8 个命题。这里牛顿主要用到的数学方法包括：从古希腊的阿波罗尼奥斯流传下来的圆锥曲线论，以及从几何原本流传下来的比例论、相似三角形理论。牛顿以娴熟的数学技巧，特别是善于利用反证法和辅助线，将很不容易证明的问题进行转化，达到目的。我们可以看到，几乎这里面的所有引理和命题，牛顿都用到了辅助线，特别是通过做平行线构造出相似三角形，由此产生需要的比例。牛顿还在引理 18、引理 20 等处用到了反证法。另外要指出的是，有的地方牛顿还用到了分类讨论的方式，先证明一种比较容易的情况，再将复杂或一般的情况转化成前者。

在这里我特别要说的是，会做题和会出题是不一样的，会出题和会科研是不一样的，会科研和会构造一个科学体系是不一样的。一个所谓的“学霸”，无非是会做题而已，距离会科研还有很长的路，更何况还要构造属于自己的体系。牛顿的《原理》全书，自然是宏伟壮观的科学体系，属于常人难望项背者，但是我们可以通过本章的学习，感悟一个小小体系的建立，鼎尝一脔，亦属快事。

通过阅读牛顿这一章的命题，我们还可以体会到科学进步的力量。不管我们怎样称赞牛顿的成就，都不得不承认，以现代的观点看，牛顿的方法是比较繁琐了。以笔者对数学史的粗浅了解来说，我估计在牛顿的时代，解析几何还没有发展到比较成熟的地步，另外显然的，射影几何也是刚刚萌芽。所以牛顿不得不使用相对简陋得多的工具解决问题。今天的我们，是不必如此费劲了。但是另外一方面，今天我们在学校里往往是分别处理不同的圆锥曲线，而且没有接触过斜坐标系，这极大限制了学生的视野。而通径、极点等名词的缺失，以及诸如“相似且相等”等名词的变化，更增大了笔者阅读这一章的难度。

以上是笔者对这一章内容的体会，愿得到广大读者的指正。