《下学葊算书》之夹边和较法解任意三角形(18)
《下学葊算书》之“夹边和较法”解任意三角形(18)
上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世强 Ho Sai Keung
提要：本文取自清‧项名达着《下学葊算书》之平三角和较术，主要涉及任意三角形，知其一角及对边，亦知角之夹边之和或差，求其两余角及两未知边。
关键词：平三角 和较术 半较角 半角余切
本文取自清‧项名达着《下学葊算书二‧平三角和较术‧三角形》。
本文涉及“平三角和较术”，项名达之所谓“平三角”乃指平面三角形；“三角形”则指任意三角形，以下题目即解任意三角形。
已知条件为已知一角及其对边，又知两夹角边之“和较”，“和较”指夹角边之和与差。
注意正弦及余弦定理之应用。
平三角和较术
三角形
﹝一﹞有一角，有对角边，有夹角两边较，求余两角。
解：
题意指已知一任意三角形之一角及其对边，又知夹角两边之差，求余下之两角及两夹边之长。
先作出如下之图：
以三角形XYZ为主，其三边长为 x、y 及 z。已知 ∠Z = θ，其已知对边长为 a，即 z = a。作 ZR = ZY = x，连 RY，于是 ∆ZRY是一等腰三角形。又设∠ZYR = ∠ZRY = β，是为半较角，算是已知数。又已知夹角两边之差为 XR = y – x = e。
设 ∠RYX = φ 为未知数，今求φ。
在 ∆XRY 中，依正弦定理得
=
sinφ =
=
-------------------------------------(1)
从图可知 β =
(180o– θ) = 90o –
，
所以 sin β = sin [
(180o– θ)] = sin (90o –
) = cos
---------- (2)
即半和角正弦 sin (90o –
) = 半角余弦 cos
。
代 (2) 入 (1) ，所以半较角正弦sin φ =
cos
。
即可得 φ = sin – 1 [
cos
]。
又从图可知∠ZYX = β+ φ = 90o –
+ sin – 1 [
cos
]。
∠X = β – φ = 90o–
– sin – 1 [
cos
]。。注意 2β + θ = 180o。
《下学葊算书》曰：
法以对角边为一率，两边较为二率，半角余弦﹝即半和角之正弦﹞为三率，求得四率，即半较角正弦。乃以半较角与半角余度﹝即半和角﹞相加减，得余两角。
清代数学界流行所谓“比例四率”，即
=
，移项得：
四率 =
。
法以对角边为一率，即一率为 a；两边较为二率，即二率为 e；半角余弦﹝即半和角之正弦﹞为三率，即三率为 cos
；所以：
四率 = sin φ =
cos
，答案与笔者同。
“相加减，得余两角”指∠Y = β + φ，∠X = β – φ；以上之结果见上文。
至于求两夹边之法，《下学葊算书》又曰：
若先求边，则以半径为一率，半角余切为二率，两边较为三率，求得四率为勾。半径为一率，半角余割为二率，对边为三率，求得四率为弦。用勾弦求股法，求得股，即两边和。乃与两边较相加减，各折半，得两边。容
《下学葊算书》之法先求二数。先求第一数，此数相当于一勾股形之勾：
即以半径为一率，半角余切 cot
为二率，两边较e为三率，
四率 =
，即勾 =
e cot
。
再求另一数，此数相当于一勾股形之弦：又以半径为一率，半角余割csc
为二率，对边a为三率，求得四率为弦。
即弦 =
a csc
。
本题其实不涉及任何勾股形，只是所求之数相当于一勾股形之勾及弦。求其股即可得两边之和。
以下为求勾弦图：
已知勾与弦，再求股，于是股为：
股 =
，股即两夹边之和，即：
y + x =
。
因已知 y – x = e；
所以 ZY = x =
[
– e]，
ZX = y =
[
+ e]。
以上即“夹边和较”法。此算法《下学葊算书》无说明理由。
注意项名达所言之“半径”为 1 则合笔者之答案﹝见下文﹞。
笔者之算法较繁复，以余弦定理 (Cosine Formula) 计算，本文不证明余弦定理。
以下为余弦定理： z2 = x2 + y2– 2xy cos θ ，今设 ZY 为 x，依题意可列出以下之方程式：
a2 = x2+ (x + e)2 – 2x(x + e) cosθ
a2 = x2+ x2 + e2 + 2xe – 2x2cos θ – 2xe cos θ
2x2+ e2 + 2xe – 2x2 cos θ – 2xecos θ – a2 = 0
2x2(1 – cos θ) + 2xe(1 – cos θ) + e2 – a2= 0。依公式解x 得：
x =
= –
+
= –
+
= –
+
= –
+
= –
+
= –
+
= –
+
= –
+
=
[
– e] 。
所以另一边长=
[
– e] + e
=
[
+ e] 。
答案与项名达相同。
﹝二﹞有一角，有对角边，有夹角两边和，求余两角。
解：
题意指已知一任意三角形之一角及其对边，又知夹角两边之和，求余下之两角及两夹边之长。
先作出如下之图：
以三角形XYZ为主。已知∠XZY = θ，其已知对边长为 z = a。延长 YZ至 S，作 ZS = ZX = y ，于是 y + x = g 为已知数，又设∠ZXS = ∠ZSX = β =
，是为半较角。
设 ∠ZXY = φ 为未知数，今求φ。
在 ∆XSY 中，依正弦定理得∠S/XY ：XY = ∠SXY ：SY ，即：
=
移项得 sin (β + φ) =
sin β=
sin
以 β =
代入得 sin (
+ φ) =
sin
取反函数得
+ φ = sin – 1 [
sin
]
φ = sin – 1 [
sin
] –
。
因此另一角 Y 为 180o – θ – φ= 180o – θ – sin – 1 [
sin
] +
= 180o – sin – 1 [
sin
] –
。
《下学葊算书》曰：
法以对角边为一率，两边和为二率，半角正弦﹝即半和角之余弦﹞为三率，求得四率，即半较角余弦。乃以半较角与半角余度相加减，得余两角。
仍用“比例四率”，即四率 =
。
法以对角边为一率，即一率为 a；两边和为二率，即二率为 g；半角余弦﹝即半和角之正弦﹞为三率，即三率为 cos
；所以：
四率 = cos φ =
cos
。不合笔者之答案。项名达之算法疑有误。
今以以下之图及数字验算：
已知一三角形XYZ， YZ = 2，ZX = 6.692，XY = 7.464 及 ∠Z = 105o。
已知 y + x = g = 2 + √18 + √6 = 8.692，
=
= 52.5o，
又已知 z = a = 4 + 2√3 = 7.464，代入上式得
sin
=
sin 52.5o = 0.9238，
所以φ = sin – 1(0.9238) – 52.5o
= 67.5o – 52.5o
= 15o。
所以 ∠ X = 15o。
另一角 = 180o – sin – 1 [
sin
] –
= 180o – 67.5o – 52.5o = 60 o。
若依项名达之式，∠ X不能得 15o 之答案。
因为 cos φ =
cos
=
cos 52.5o = 0.7089 ，φ = 44.9o，有误。
《下学葊算书》又曰：
若先求边，则以半径为一率，半角正切为二率，两边和为三率，求得四率为股。半径为一率，半角正割为二率，对边为三率，求得四率为弦。用股弦求勾法，求得勾，即两边较。乃与两边和相加减，各折半，得两边。
即半径为一率，半角正切 tan
为二率，两边和g为三率，
四率 =
，即股 =
g tan
。
又半径为一率，半角正割sec
为二率，对边a为三率，求得四率为弦。
即弦 =
a sec
。已知股与弦，于是勾为：
勾 =
，勾即两夹边之差，即：
y – x =
。
因已知 y + x = g；
所以 ZY = x =
[g –
]，
ZX = y =
[g+
]。
以上亦即“夹边和较”法。本题之解法与上题相若。
笔者仍以余弦定理计算。
以下为余弦定理： z2 = x2 + y2– 2xy cos θ ，今设 ZY 为 x，依题意可列出以下之方程式：
a2 = x2+ (g – x)2 – 2x(g – x) cos θ
a2 = x2+ x2 + g2 – 2xg + 2x2cos θ – 2xg cos θ
2x2+ g2 – 2xg + 2x2 cos θ –2xg cos θ – a2 = 0
2x2(1 + cos θ) – 2xg (1 + cos θ) + g2– a2 = 0。依公式解 x 得：
x =
﹝开方取负号﹞
=
–
=
–
=
–
=
–
=
–
=
–
=
–
=
–
=
[g –
] 。此即为 x 之长。
另一边长y = g –
[g –
]
=
[g+
] 。
答案与项名达相同。
《下学葊算书》之原文：