JavaScript图形实例：曲线方程 / 开普饭

在HTML5 Canvas画布中，我们可以根据曲线的方程绘制出曲线。例如，在笛卡尔坐标系中，圆的方程为：

x=r*cos(θ)

y=r*sin(θ) （0≤θ≤2π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(150,150);

var r=100;

context.beginPath();

for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/100)

{

var x = r*Math.cos(theta); // 圆的方程式

var y = r*Math.sin(theta);

if (theta==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中，绘制出一个圆心位于（150,150），半径为100的圆。

若将HTML文件中的圆的方程改写为：

var x = 100*Math.cos(theta); // 椭圆方程

var y = 75*Math.sin(theta);

则在浏览器窗口中绘制出一个椭圆。

下面我们给出采用曲线方程绘制的各类曲线实例。

1．星形线

星形线的笛卡尔坐标方程式为：

x=r*cos(θ)^3

y=r*sin(θ)^3 （0≤θ≤2π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(150,150);

var r=80;

context.beginPath();

for (a=0;a<=2*Math.PI;a+=Math.PI/100)

{

var x = r*Math.cos(a)*Math.cos(a)*Math.cos(a);

var y = r*Math.sin(a)*Math.sin(a)*Math.sin(a);

if (a==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出星形线，如图1所示。

图1 星形线

2．三尖瓣线

三尖瓣线的笛卡尔坐标方程式为：

x=r*[2*cos(θ)+ cos(2θ)]

y=r*[2*sin(θ)+ sin(2θ)] （0≤θ≤2π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(150,150);

var r=40;

context.beginPath();

for (a=0;a<=2*Math.PI;a+=Math.PI/100)

{

var x = r*(2*Math.cos(a)+Math.cos(2*a));

var y = r*(2*Math.sin(a)-Math.sin(2*a));

if (a==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出三尖瓣线，如图2所示。

图2 三尖瓣线

3．肾形线

肾形线的笛卡尔坐标方程式为：

x=r*[3*cos(θ)- cos(3θ)]

y=r*[3*sin(θ)- sin(3θ)] （0≤θ≤2π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(150,150);

var r=25;

context.beginPath();

for (a=0;a<=2*Math.PI;a+=Math.PI/100)

{

var x = 3*r*Math.cos(a) -r*Math.cos(3*a);

var y = 3*r*Math.sin(a) -r*Math.sin(3*a);

if (a==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出肾形线，如图3所示。

图3 肾形线

4．心脏线

心脏线的笛卡尔坐标方程式为：

r=b*(1+ cos(θ))

x=r*cos(θ)

y=r*sin(θ) （0≤θ≤2π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(100,150);

var b=70;

context.beginPath();

for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/200)

{

var r=b*(1+Math.cos(theta));

var x = r*Math.cos(theta);

var y = r*Math.sin(theta);

if (theta==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出心脏线，如图4所示。

图4 心脏线

5．双弧外摆线

双弧外摆线的笛卡尔坐标方程式为：

x= 3*b*cos(θ)+ d*cos(3θ)]

y= 3*b*sin(θ)+ d*sin(3θ)] （0≤θ≤2π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

<title>双弧外摆线</title>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(150,150);

var b=25;

var d=35;

context.beginPath();

for (a=0;a<=2*Math.PI;a+=Math.PI/100)

{

var x = 3*b*Math.cos(a) +d*Math.cos(3*a);

var y = 3*b*Math.sin(a) +d*Math.sin(3*a)

if (a==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出双弧外摆线，如图5所示。

图5 双弧外摆线

6．梅花曲线

梅花曲线的笛卡尔坐标方程式为：

r=10+(3*sin(θ*2.5))^2

x=r*cos(θ)

y=r*sin(θ) （0≤θ≤2π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(150,150);

var b=120;

context.beginPath();

for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/200)

{

var r=10+9*Math.sin(2.5*theta)*Math.sin(2.5*theta);

var x = 6*r*Math.cos(theta);

var y = 6*r*Math.sin(theta);

if (theta==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出梅花曲线，如图6所示。

图6 梅花曲线

7．向日葵线

向日葵线的笛卡尔坐标方程式为：

b=30

r=b+b/3*sin(θ*b)

x=r*cos(θ)

y=r*sin(θ) （0≤θ≤2π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(150,150);

var b=30;

context.beginPath();

for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/200)

{

var r=b+b/3*Math.sin(b*theta);

var x = 3*r*Math.cos(theta);

var y = 3*r*Math.sin(theta);

if (theta==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出向日葵线，如图7所示。

图7 向日葵线

8．小蜜蜂形线

小蜜蜂形线的笛卡尔坐标方程式为：

x=r*[cos(θ)+ cos(3θ)]

y=r*[sin(θ)+ sin(5θ)] （0≤θ≤2π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

<title>小蜜蜂形线</title>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(150,150);

var r=50;

context.beginPath();

for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/100)

{

var x = r*(Math.cos(theta)+Math.cos(3*theta));

var y = r*(Math.sin(theta)+Math.sin(5*theta));

if (theta==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出小蜜蜂形线，如图8所示。

图8 小蜜蜂形线

9．弯月

弯月的笛卡尔坐标方程式为：

x=r*[cos(θ)+ cos(2θ)]

y=r*4*sin(θ) （0≤θ≤2π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(150,150);

var r=30;

context.beginPath();

for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/100)

{

var x = r*(Math.cos(theta)+Math.cos(2*theta));

var y = r*(Math.sin(theta)*4);

if (theta==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出弯月，如图9所示。

图9 弯月

10．内五角星线

内五角星线的笛卡尔坐标方程式为：

b=10;

x = b*(2+5* cos(θ)+6* cos((10/6-1)* θ));

y = b*(2+5* sin(θ)-6* sin((10/6-1)* θ)); （0≤θ≤14π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

<title>内五角星线</title>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(150,150);

var b=10;

context.beginPath();

for (a=0;a<=14*Math.PI;a+=Math.PI/100)

{

var x = b*(2+5*Math.cos(a)+6*Math.cos((10/6-1)*a));

var y = b*(2+5*Math.sin(a)-6*Math.sin((10/6-1)*a));

if (a==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出内五角星线，如图10所示。

图10 内五角星线

11．热带鱼形线

热带鱼形线的笛卡尔坐标方程式为：

x =( r* cos(3θ)^4)* θ;

y = ( r* sin(3θ)^4)* θ; （0≤θ≤2π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

<title>热带鱼形线</title>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(30,30);

var r=45;

context.beginPath();

for (theta=0;theta<=2*Math.PI;theta+=Math.PI/100)

{

x= (r*Math.cos(3*theta)*Math.cos(3*theta)*Math.cos(3*theta)*Math.cos(3*theta))*theta;

y= (r*Math.sin(3*theta)*Math.sin(3*theta)*Math.sin(3*theta)*Math.sin(3*theta))*theta;

if (theta==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出热带鱼形线，如图11所示。

图11 热带鱼形线

12．蜗轨线

蜗轨线的笛卡尔坐标方程式为：

r=cos(30*θ) *θ/2+2*θ

x=r*cos(θ)

y=r*sin(θ) （0≤θ≤4π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,400,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(150,150);

context.beginPath();

for (theta=0;theta<=4*Math.PI;theta+=Math.PI/720)

{

var r=Math.cos(30*theta)*theta*0.5+theta*2;

var x = 5*r*Math.cos(theta);

var y = 5*r*Math.sin(theta);

if (theta==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出蜗轨线，如图12所示。

图12 蜗轨线

13．蝴蝶曲线

蝴蝶曲线的笛卡尔坐标方程式为：

r=(cos(2*θ) *θ/2+1) *θ

x=r*cos(θ)

y=r*sin(θ) （0≤θ≤15π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,400,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(200,150);

context.beginPath();

for (theta=0;theta<=15*Math.PI;theta+=Math.PI/180)

{

var r=(Math.cos(2*theta)*theta*0.5+1)*theta;

var x = 0.15*r*Math.cos(theta);

var y = 0.15*r*Math.sin(theta);

if (theta==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出蝴蝶曲线，如图13所示。

图13 蝴蝶曲线

14．长短幅圆内旋轮线

长短幅圆内旋轮线的笛卡尔坐标方程式为：

x =(a-b)* cos(θ)+c* cos((a/b-1)*θ);

y =(a-b)* sin(θ) - c* sin((a/b-1)*θ); （0≤θ≤20π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

<title>长短幅圆内旋轮线</title>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(150,150);

var a=100;

var b=140;

var c=45;

context.beginPath();

for (theta=0;theta<=20*Math.PI;theta+=Math.PI/100)

{

var x = (a-b)*Math.cos(theta)+c*Math.cos((a/b-1)*theta);

var y = (a-b)*Math.sin(theta)-c*Math.sin((a/b-1)*theta);

if (theta==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出长短幅圆内旋轮线，如图14所示。

图14 长短幅圆内旋轮线

15．长短幅圆外旋轮线

长短幅圆外旋轮线的笛卡尔坐标方程式为：

x =(a+b)* cos(θ)+c* cos((a/b+1)*θ);

y =(a+b)* sin(θ) - c* sin((a/b+1)*θ); （0≤θ≤10π）

编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE html>

<head>

<title>长短幅圆外旋轮线</title>

function draw(id)

{

var canvas=document.getElementById(id);

if (canvas==null)

return false;

var context=canvas.getContext('2d');

context.fillStyle="#EEEEFF";

context.fillRect(0,0,300,300);

context.strokeStyle="red";

context.lineWidth=2;

context.save();

context.translate(150,150);

var a=50;

var b=30;

var c=50;

context.beginPath();

for (theta=0;theta<=10*Math.PI;theta+=Math.PI/100)

{

var x = (a+b)*Math.cos(theta)+c*Math.cos((a/b+1)*theta);

var y = (a+b)*Math.sin(theta)-c*Math.sin((a/b+1)*theta);

if (theta==0)

context.moveTo(x,y);

else

context.lineTo(x,y);

}

context.stroke();

context.restore();

}

</script>

</head>

</body>

</html>

将上述HTML代码保存到一个html文本文件中，再在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出长短幅圆外旋轮线，如图15所示。

图15 长短幅圆外旋轮线

JavaScript图形实例：曲线方程

1．星形线

2．三尖瓣线

3．肾形线

4．心脏线

5．双弧外摆线

6．梅花曲线

7．向日葵线

8．小蜜蜂形线

9．弯月

10．内五角星线

11．热带鱼形线

12．蜗轨线

13．蝴蝶曲线

14．长短幅圆内旋轮线

15．长短幅圆外旋轮线

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