【方程组的解/零空间/核】- 图解线性代数 07

线性代数在许多领域都被广泛应用的主要原因是能够求解给定的线性方程组(Linear System of Equations). 这一次来看如何用矩阵的语言来构建简单的数学模型来:

有若干只鸡和兔在同个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

题目非常简单, 由两个方程和两个未知数构成的方程组便可以求解出:

或以把方程写成矩阵向量相乘的形式 - 常系数矩阵 A , 未知量作为列向量 x, 两者的乘积得到常数列向量 v.

常系数矩阵可以理解为自变量 x 与 因变量中间存在的某种关联, 指定了这个矩阵就能确定了从向量到另外一个向量的映射. 这样用线性变换来理解的话, 求解 Ax = v 意味着我们要找到一个向量 x , 使得它在变换后与 v 完全重合:

这个方程组有解就是矩阵 A 所代表的变换没有将空间进行扁平化的压缩, 即 det(A)≠0. 否则方程组无解.

或者还可以从矩阵的行视图来理解这个线性方程组, 所要求的解就是求两条直线的交点:

对于两个方程组未知数两个的时候, 线性方程组的解有三种情况:

• 不存在;

• 唯一(两条直线相交);

• 有无穷多个;

现在从列视图和行视图两个角度来理解后面两种情况, 比如下面线性方程组无解:

从列视图可以看做向量 (2,1) 没有落在矩阵列所张成的空间内, 从下面动画中看到经过矩阵变换后, 空间最终被压缩为一条灰色直线, 而 v 在直线外, 所以不能被变换后的基向量线性表出:

或者可以从行视图来理解就是空间中两条直线为平行关系:

再来以下面线性方程组为例看无穷解的情况:

如果从行视图来看就是两条直线重合在一起:

观察下面的动图来从列视图的角度理解无穷解的情况:

观察要点:

• 这个矩阵的变换将线性空间压缩到一条灰色直线上;

• 图形中黑色直线上的所有向量在变换后都被压缩到原点, 成为零向量;

在经过线性变换后那些压缩到原点的向量集合, 称为零空间(Null space)或称为核(Kernel). 上面方程组的通解就是由特解和所有零空间解的线性组合, 下面动图尽管改变中 a 的值, 所有可能 a (-1, 1) 是零空间的解, 所以经过变换都会被压缩到原点; 而 (2, 0) 是特解, 经过变换后会落脚在 (2, 4) 处.

类似, 如果有三个方程式, 三个未知数, 那么每一个方程就代表了三维空间中的一个平面, 而方程组的解集就可能是空间中的一部分: 无解, 一个交点, 一条直线或一个平面;

在很多问题中都能将数学模型归结为 y = Ax . 比如信号处理, 统计分析, 机器学习等, 在工科中会经常用到. 在未来的图解系列中我们会遇到更多这些问题的示例.

上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了, 现在让我们在下一篇的中再见!

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