恋上埃及分数 / 开普饭

▌1．追本溯源
传说古埃及一个老人临死前，立下一份奇怪的遗嘱，遗嘱说：家中有十一头驴，将在他死后分给三个儿子，一半分给长子，四分之一分给次子，六分之一分给小儿子。

老人死后，三个儿子为怎么分配驴，而发愁。十一头驴的一半是五头半驴，总不能将驴杀了吧，正在无奈之际，只见有一个头戴穆斯林民族白色缠头，身穿白袍，倒骑着一头小毛驴的人经过，他不就是那个大名鼎鼎的爱捉弄黑心商人、贪婪法官、伪善财主的阿凡提吗？兄弟仿佛遇到了救星，愁眉变笑颜。兄弟们立马叫住了阿凡提，并讲述了事情的经过。

▲ 图片网络

阿凡提听后，把自己的毛驴牵到十一头驴中间，然后便开始按老人的遗嘱，分六头驴给老大，刚好是一半，然后又分三头给老二，也刚好是四分之一，最后分二头给老三，也刚好是六分之一，总共是十一头驴。然后剩下的头就是阿凡提本人的。

兄弟仨人非常感激，这个故事代代相传。直到今天“阿凡提”这个名字在埃及都家喻户晓，甚至在人们的日常生活中经常能听到。它演变成了一种对人的尊称，意思相当于“先生”。

实际上故事中的道理用数学语言表述，即是

。

古埃及人，喜欢用几个分子是1的分数之和来表示有理数，这种分子为

的分数，后来就称作古埃及分数，也叫单位分数。

▲ 埃及分数表示法(图自维基)

埃及分数有一些有趣的性质，如

更有趣的是下面是如下的等式：

式中右边前几个分数中的分母，是最小分数之分母除去 1 与自身之外的所有的约数。如果两边同时乘以最大的分母，我们发现这个最大的数，是除去自身之外的所有约数之和。这种整数最早是公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。

▲ 毕达哥拉斯雕像

毕达哥拉斯曾说:"

象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。"有些《圣经》注释家认为

和

是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说:"

这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天;事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了"。

如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为"完全数"。完全数(Perfect number)，又称完美数或完备数。

数学家欧拉曾推算出完全数的公式:如果 p 是素数，且

也是素数，那么

便是一个完全数。很明显

是一个梅森素数。

是不是越来越有趣了！难怪阿基米德也研究过单位分数。1950年（这个问题与我们中华人民共和国差不多同岁就好）Paul Erdos（保罗·埃尔德什）猜想:对于

的正整数，方程

恒有正整数解。这就是著名的古埃及分数(Egyptian fraction)问题。

▲ 图自网络

Stralss进一步猜想，当

时，方程的解

满足

。

1963年柯召，孙奇，张先觉证明了 Erdős 猜想与 Stralss 猜想等价。

有些朋友可能不以为然了。就这样一个小学初中的分数问题，是一个著名的问题？我说是的，先来说下Stralss。他可是爱因斯坦的助手，德国出生的美国数学家。对于 Erdős，（埃尔德什，跟我国鄂尔多斯高原很像，一看这个名就有一种辽阔的感觉）有着“现代的欧拉”、“数学莫扎特”之美称。他跟中国数学家，柯召是好友。熟悉数论的朋友，应该都会了解柯召是何许人也。想必不少人用过他跟孙奇编的数论教材吧。另外还有一个美丽的数学爱情故事跟 Erdős 有关。

在1933 年，匈牙利数学家 George Szekeres 那时还只有 22 岁。他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——Paul Erdős 大神。当时的 Erdős 年仅 20 岁。

在一次数学聚会上，一位名叫 Esther Klein 的美女同学提出了这么一个命题：在平面上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么一定有四个点，它们构成一个凸四边形。Szekeres 和 Erdős 等人想了好一会儿，没想到该怎么证明。于是，美女同学得意地宣布了她的证明：这五个点的凸包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论了，而对于第三种情况，把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。

众人大呼精彩。然而 Erdős 和 Szekeres 仍然对这个问题念念不忘，于是尝试对其进行推广。最终，他们于 1935 年发表论文，成功地证明了一个更强的结论。Erdős 把这个命题叫做“幸福结局问题”（Happy Ending problem），因为这个命题让 George Szekeres 和美女同学 Esther Klein 走到了一起，两人在 1936 年结了婚。最后的结局也真的很幸福。结婚后的近 70 年里，从未分开过。2005 年 8 月 28 日， George 和 Esther 相继离开人世，相差不到一个小时。

也许因为思考 Erdős 猜想的问题，会带来吉祥幸福吧。华裔澳大利亚数学家陶哲轩也研究过这个问题。