【数列】斐波拉契数列中为什么含有黄金分割比？
想起我在学数列的时候
老师提过一个特殊的数列
斐波拉契数列
就是下面这个
1，1，2，3，5，8，13，
21，34，55...
这个数列的规律相信小学二年级都能看出来
我们把它的递推式写出来
它表示成下面这种形式
老师当时说了一句
“你们现在是求不出它的通项的”
这句话让这个数列在我的心目中
蒙上一层神秘的色彩
听到老师这话
我突然就想求一下它的通项了
但是当时我连等比数列都还没学会
我还真拿这个数列的通项没办法
后来某一天晚修
做完作业的我心生无聊
拿起计算机捣鼓这个数列
发现一个神奇的规律
如果把这个数列的每一项除以前一项
它在越来越靠近黄金分割比!
我又拿了后面的几项来算
越来越靠近了！
为什么黄金分割会出现在这个数列中呢？
这个疑惑让我更想把它的通项求出来看看
但是那时的我还太菜了
这种递推式我还不会做
后来...
我从一本书习得一门绝技
特征根法
解开了我对这个问题的疑惑...
在学习特征根法之前
我们先来认识一下下面这个递推式
我习惯把它叫作三项递推
其实三项递推的题目你可能已经见过
这些题目一般会给你一些提示
我们从下面这个例子讲起
看完题目了吗？
看完我们继续
这一题第一问并不难
它提示了我们要构造成下面这样
把括号里面看作整体
它就是一个等比形式的递推
根据等比数列的知识
我们就求得了
然后再用构造法
......
题目的后面我就不讲了
（你们有兴趣自己做做看）
你会不会好奇
题目是怎么想到减去2an的？
这你得问出题人！
小学渣
灰鸽
我就是这题的出题人
现在我会告诉你我是怎么出这题的
......
对于一般的三项递推式
思考一下
我们要怎么化成等比递推的样子呢
我们反过来想一下
假设我们已经得到了
它等比形式的递推式
我们要怎么把它和原递推式联系起来呢
我们试着将这两个式子变得像一点
还不够像
再像一点
差不多像了
如果要让这两个式子相等
那么就会有
我们对原方程只加入了变量k
所以我们只看第二条方程就好了
简化一下第二条方程
那么按照这个方程解出来的k
就可以使原递推式
变成下面这种等比递推的形式了
这个方程就叫做三项递推的
特征方程
它的解就叫做特征根
值得注意的是
这个方程是会有两个解的
两个解都可以使三项递推变成等比递推
来到这里
我们已经知道出题人
是怎么想到减去2an的了
......
OK
现在我们来理清一下解题思路
我们把上面的过程逆回去
面对一个三项递推
我们需要先写出特征方程
将方程解出来两个根x₁x₂
因为两个根都可以把三项递推
化成等比递推
所以我们不妨两个一起操作
接着对右边提取因式
因为x₁,x₂是特征方程的根，所以
所以（*）式就变成
这样，我们就构造出了下面两个等比数列
接着求出这两个数列通式
然后通过加减法就能将通项算出来了
现在你明白了三项递推的原理
接下来让我们对前面的例子来实操一下
分析：
第一步：变成特征方程
第二步：解出两个根
第三步：处理递推式
第四步：算出两个通项
第五步：两式相减
到了这里
我们就有能力解决这篇的标题了
斐波那契数列
开整！
（省略讲解）
看到这个通项...
你可能会惊讶
一个全是自然数的数列
通项居然用了无理数来表示...！
我们再细细观察
会发现里面的两个指数的底
都是黄金分割比！
1.618...
0.618...
怪不得这个数列又有另外一个名称
黄金分割数列
当n变得很大的时候
这就解释了为什么项数增加时
两项比值越来越靠近黄金分割比的现象
不得不感叹这个数列的神奇
......
数屋讨论群（8）
灰鸽
三项递推我们就讲完啦，大家有什么问题吗？
课代表
早就会了
小好奇
我会啦！
小学渣
我还没学会
小问号
特征方程解出来只有一个解怎么办？
小机灵
这题我会！需要构造等差数列！
小机灵
小杠精
那没有解的话这个方法就没用了吧
课代表
这时候从复数域上来说还是两个根，需要把数列拓展到复数域上，按照流程走一遍，得到的通项会是一个由复数表示但每一项都是实数的数列。不观察通项，就从实数域上来看，这个数列会出现循环。从通项来看，这个数列是个幅角永远是0或π的复数列......
小学渣
求求你别念了...
团子
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我连特征方程都不会解...
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