第一课：一文读懂马尔科夫过程 / 开普饭

1.马尔科夫决策过程（MDPs）简介

马尔科夫决策过程是对强化学习(RL)问题的数学描述。几乎所有的RL问题都能通过MDPs来描述：

最优控制问题可以用MDPs来描述;
部分观测环境可以转化成POMDPs;
赌博机问题是只有一个状态的MDPs;

注：虽然大部分DL问题都能转化为MDPs，但是以下所描述的MDPs是全观测的情况。

强化学习中的表述符号：

2.马尔科夫性

只要知道现在，将来和过去条件独立

定义：如果在t时刻的状态St满足如下等式，那么这个状态被称为马尔科夫状态，或者说该状态满足马尔科夫性。

马尔科夫性的要点：
状态St包含了所有历史相关信息
或者说历史的所有状态的相关信息都在当前状态St上体现出来
一旦St知道了，那么S1,S2, ... ,St-1都可以被抛弃
数学上可以认为：状态时将来的充分统计量
因此，这里要求环境时全观测

例子：

下棋时，只关心当前局面
打俄罗斯方块时，只关心当前屏幕

有了马尔科夫状态之后

定义状态转移矩阵
忽略时间的影响，只需要关心当前状态即做出下一步决策

注：这里的相关指问题相关，可能有一些问题无关的信息没有在St中；马尔科夫性和状态的定义息息相关。

3.状态转移矩阵

定义：状态转移概率是指从一个马尔科夫状态s跳转到后继状态s'的概率：

所有的状态组成行，所有的后继状态组成列，将得到状态转移矩阵：

其中，n表示状态的个数，由于P代表了整个状态转移的集合，所以用个花体。每行元素相加等于1。

我们也可以将状态转移概率写成函数的形式：

其中

，状态数量太多或者是无穷大（连续状态）时，更适合用状态转移函数，此时，

。

4.马尔科夫过程

一个马尔科夫过程（MP）是一个无记忆的随机过程，即一些马尔科夫状态的序列。

定义：马尔科夫过程可以由一个二元组定义<S, P>。

S表示了状态集合，P描述了状态转移矩阵

。

注，虽然我们有时候不知道P的具体值，但是通常我们假设P存在且稳定的。

当P不稳定时，不稳定环境，在线学习，快速学习。

举个栗子：

一个学生每天需要学习三个科目，然后通过测试。不过也有可能只学完两个科目之后直接睡觉，一旦挂科有可能需要重新学习某些科目。用椭圆表示普通状态，每一条线上的数字表示从一个状态跳转到另一个状态。方块表示终止状态。终止状态有两种：1是时间终止，2是状态终止。

由于马尔科夫郭晨够可以用图中的方块和线条组成，所以可以称马尔科夫过程为马尔科夫链（MDPs chain）。

6.片段

片段定义：强化学习中，从初始状态S1到终止状态的序列过程，被称为一个片段（episode），S1, S2，... ，ST

如果一个任务总以终止状态结束，那么这个任务被称为片段任务；
如果一个任务没有终止状态，会被无限执行下去，这被称为连续性任务。

还是来看上面的例子：

假设初始状态是“科目一”，从这个马尔科夫链中，我们可能采样到如下的片段：

“科目一”，“科目二”，“睡觉”
“科目一”，“科目二”，“科目三”，“通过”，“睡觉”
“科目一”，“玩手机”，“玩手机”，…, “玩手机”，“科目一”, “科目二”, “睡觉”
“科目一”，“科目二”，“科目三”，“挂科”，“科目二”，“科目三”，“挂科”，挂科“科目一”，“科目二”，“科目三”，“挂科”, “科目三”，“通过”, “睡觉”

分别用 s1 ∼ s7 代表 “科目一”, “科目二”， “科目三”, “通过”, “挂科”, “玩手机”, “睡觉”

7.马尔科夫奖励过程（MRP）

马尔可夫过程主要描述的是状态之间的转移关系，在这个转移关系上赋予不同的奖励值即得到了马尔可夫奖励过程。

定义：马尔可夫奖励 (Markov Reward Process, MRP) 过程由一个四元组组成 〈S, P,R, γ〉。

S 代表了状态的集合
P 描述了状态转移矩
R 表示奖励函数，R(s) 描述了在状态 s 的期望奖励，

，某一个状态的
γ 表示衰减因子，γ ∈ [0, 1]

注，以上要注意R和R的区别

马尔可夫奖励过程的例子：

8.回报值

奖励值：对每一个状态的评价；

回报值：对每一个片段的评价。

定义：回报值（return Gt）是从时间t处开始的累计衰减奖励

对于片段性任务：

对于连续性任务：

片段的统一化表达：

终止状态等价于自身转移概率为1，奖励为0的状态

因此我们能够将片段任务和连续性任务统一表达：

这里T=∞时，表示连续性任务，否则即为片段性任务。

9.衰减值

为什么我们要使用遮掩给定指数衰减？

直观感觉

影响未来的因素不仅仅包含当前

我们对未来的把握也时逐渐衰减的

一般情况下，我们更关注短时间按的反馈

数学便利

一个参数就描述了整个衰减过程，只需要调节一个参数γ既可以调节长时间奖励的权衡（trade-off）
指数衰减形式又很容易进行数学分析
指数衰减是对回报值的有界保证，避免了循环 MRP 和连续性 MRP 情况下回报值变成无穷大

10.值函数

为什么要值函数？

回报值是一次片段的结果，存在很大的样本偏差
回报值的角标是t，值函数关注的是状态s

定义：一个MRP的值函数定义：

这里的值函数针对的是状态s，所以称为状态值函数，又称为V函数；
Gt是一个随机变量
这里使用小写的v函数，代表了真实存在的值函数

通过一个例子比较值函数和回报值：

针对初始状态S1=“科目一”，且γ=0.5计算不同片段的回报值

虽然都是从相同的初始状态开始，但是不同的片段有不容的回报值，而且值函数是他们的期望值。

针对上述例子当γ取不同的值时对应的V值函数如下图：

11.MRPs 中的贝尔曼方程

值函数的表达式可以分解成两个部分

瞬时奖励 Rt+1
后继状态 St+1 的值函数乘上一个衰减系数

体现了v(s)与v(St+1)之间的迭代关系
这是强化学习中的核心理论之一
注意s小写，St+1大写

如果我们已知转移矩阵P，那么

图中我们可以用 v(s1), v(s2), v(s3) 去计算 v(s0)，由后继状态的值函数计算当前状态的值函数。

当γ=1时，我们根据以下例子计算值函数：

套用公式

，红框状态的值函数v = -2+0.6*10+0.4*-8.5 = 0.6。

12.贝尔曼方程的矩阵形式

使用矩阵-向量的形式表达贝尔曼方程，即：

假设状态集合为 S = {s1, s2, . . . , sn}，那么

贝尔曼方程本质上是一个线性方程，可以直接求解：

计算复杂度O(n^3)
要求已知状态转移矩阵P
直接求解的方式仅限于小的MRPs

注：计算复杂度：

马尔科夫过程的最终目的是要产生决策，因此需要重点讨论马尔科夫决策过程

13.马尔科夫决策过程

马尔科夫决策过程(MDP)与MP、MRP的区别

在MP和MRP中，我们都是作为观察者，去观察其中的状态转移现象，去计算回报值
对于一个RL问题，我们更希望去改变状态转移的流程，去最大化回报值
通过MRP中引入决策即得到了马尔科夫决策过程

马尔科夫决策过程定义：一个马尔科夫决策过程由一个五元组构成 〈S, A, P,R, γ〉。

S 代表了状态的集合；A 代表了动作的集合；P 描述了状态转移矩阵

；
R 表示奖励函数，R(s, a) 描述了在状态 s做动作 a的奖励，

；
γ 表示衰减因子，γ ∈ [0, 1]

举个栗子说明马尔科夫决策过程：

针对状态的奖励变成了针对 〈s, a〉 的奖励；能通过动作进行控制的状态转移，由原来的状态转移概率变成了动作；MDP只关注那些可以做出决策的动作；被动的状态转移关系被压缩成一个状态，被动指无论做任何动作，状态都会发生跳转。这样的状态不属于MDP中考虑的状态，原图中，由于通过后一定去睡觉因此进行了压缩，原图中挂科后的跳转不受到控制。

注，图中除了在“科目三”的状态上执行“不复习”动作外，其他的所有状态跳转都是确定性，我们通过在不同的状态上执行不同的动作，即可实现状态跳转。

能够随意愿改变的就变成了动作。我们关心的是在什么情况先该做什么动作。