续写缠论动力学5-分形与分数维
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缠论动力学5-分形与分数维
前面讲了那么多新的概念，很多人估计都懵逼了，其实没必要刨根问底式的去做数学推导，只需要能大体理解就可以了。
如果说前面的东西比较难理解，那么今天就来讲讲与缠论级别相关的概念：分形
1967年，法国有个叫曼德布罗特大数学家，在《科学》杂志上发表了一篇论文《英国的海岸线有多长》,这篇论文不仅改变了他的人生，也改变了人类对大自然的认识。
在论文中他指出，由于海岸线并非是直线，而是由一条条曲线构成，如果用公里作为测量单位，那么从几米到几百米的一些曲折就会被忽略，如果用米作为测量单位，得到的长度大于用公里作为测量单位的长度，但厘米级的曲折也会被忽略，那么得出一个结论：随着测量尺度的缩小，所测得的长度总会不断增加，所以，海岸线的长度不能用传统的测量方法得到准确值。
这结论和人们的传统思维截然不同，“给我一把尺子我能量宇宙”的思维被彻底颠覆，能把岛国的海岸线量明白了就不错了。于是，为了彻底弄清楚岛国海岸线的长度，分形学诞生了。
大自然中还有很多分形的案例，比如树根、树叶、树冠、西兰花、山川、闪电、云、海浪、星系、大脑皮层等等等等，还有木根的断裂口，这些分形的案例都有一些共同的特点：
1. 结构的精细性，分形具有在任意小尺度下的比例细节。
2. 无法用传统的几何描述，也就是无法用欧式几何描述，处处连续但不可微
3. 具有自相似性，局部和整体看起来相似
4. 生成的迭代性，就像非线性动力系统中的微分方程一样，设定好了规则，剩下的就全部是建立在该规则上的迭代。
5. 维数的非整数性。
除了最后一条，前面四个特点都容易理解，可以简化为一个公式：
分形＝原型+生成元+迭代
是不是和动力学系统的原理类似？原型＝a0， 生成元＝微分方程，迭代就是方程递归，这简直和非线性动力学系统的原理一样嘛！事实上，非线性动力系统和分形往往是密不可分的，
但最后这个维度的非整数性就超出一般人的想象了。因为按照我们的理解，0维是一个点，一维是一条直线，二维是平面，三维是立体，那么分数维度是什么？我们来这么通俗地理解：
在平面中有一个边长为a的正方形，那么它的面积是a^2，如果将其边长放大b倍，则新的正方形面积为(ab)^2，即在边长放大b倍之后面积变为了b^2倍，占据原先图形b^2的面积，那么这个正方形的维度就是2；同样的如果是在空间中有一个边长为a的立方体，其边长放大b倍后得到的新立方体，体积为原来的b^3倍，占据相当于b^3个原先的立方体叠放在一起的空间，那么立方体的维度就是3。
照这样的理解，如果在D维空间中有一个几何体，把其每个方向的长度都放大b倍后，得到的新几何体的“体积”放大的倍数为：
对上式稍作一下变换即可得到：
这里的D，就是“维度”的定义。
那么对于一个分形图形，我们用康托尔集合来举例：
取一条线段，三等分后去掉中间一段，可以得到余下的两段；再对于这两段，同样地去掉中间的1/3，每一段又能余下两段，就成了一个四条线段组成的图形，如此循环下去，无穷多次以后，最终能得到一个只由点组成的集合(到最后分得只剩下点了*^__^*)。
对于这样的一个集合，若取如图所示长度内的这样一个点集的图形，将它放大3倍以后，只能得到相当于两个原来的图形大小的新图形，那么这个分形的维度就是：
很多人经过计算发现，股票价格波动的分形维度大概在1.618附近，咦！好熟悉的数字，没错，0.618就是黄金分割率，其几何意义是一个线段按黄金率分割成的两条线段之比是两条线段中较长的一条与原线段之比都是0.618.
假设线段长度为 1 个单位, 分成 A 和 B 两段, 则 A + B = 1
令 A = 0.382 , B = 0.618 , 则 A/B = B/1 , B*B = A , B/A = 1/B
简单的运算可知: 0.618*0.618=0.382, 0.618*1.618=1, 0.618/0.382=1.618
1/.382=1.618/0.618=2.618, 1.618*1.618=2.618. 黄金率主要是指0.618或其倒数1.618, 0.382或其倒数2.618则次之, 其它数字如0.191, 0.236等都不是“黄金率”。
同样，维度D=0.618空间是对D=1的一维空间的‘黄金分割’，维度D=1.618空间是D=0.618空间与D=1空间的（垂直）叠加；维度D=2.618空间是D=1.618空间与D=1空间的（垂直）叠加。可以认为，维度D=1.618空间是二维空间的一个特殊子空间，该子空间在二维空间中的“表现”就是一个完整的分形！分形维是决定分形的内在机理。
现实世界中最有意义的分形维其D都在1.618（或0.618或2.618）附近，其分形图案最具代表性的：一是呈一定中心对称性的向外发散型如闪电、粒子的扩散置限聚集（模型）、细菌的繁衍生长模型、树枝等；二是平面展开型如海岸线、白云的平面轮廓等。不平滑性、不相交性、一定程度上形状的相似性是这些图示分形（图案）的共同特点。
更有趣的是，我们都知道的斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233......），其递归定义方法为：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）
当N越大时，F（n-1）/F（n）就越趋近于黄金分割率，比如13/21＝0.6190， 21/34=0.6176，34/55＝0.6182，55/89=0.6179，89/144=0.61806，由于维度D=1.618空间是D=0.618空间与D=1空间的（垂直）叠加，于是，在时间周期上的比例也经常出现黄金分割率，这也就解释了为什么缠师总以斐氏数字来预测某段走势的周期数。
因此，很多人用黄金分割线、费氏数列来做技术分析，其背后的真正原理就在于分形的维度，江恩只是发现了规律，可惜的是当时还没有什么分形的概念，到死他都没明白为什么他的理论中会有这么多黄金分割和斐氏数列的巧合。
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《续写缠论动力学1》
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