2021 年绵阳一诊关键试题赏析和溯源 1

样题 1：（2021 年绵阳一诊第 10 题）

下面选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》

6. 2018 全国 1 卷文科第 12 题

——图像法求分段函数单调性，解不等式

【点评】解决此问题的关键在于由图像确定 2 x > 0 ，从而减少讨论。

样题 2：（2021 年绵阳一诊第 11 题）

样题 3：（2021 年绵阳一诊第 12 题）

下面选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》

47. 2016 全国 1 卷理科第 12 题

——三角函数各种性质的综合

【考试中心的命制过程】本试题给出了正弦型三角函数解析式中参数的约束条件以及正弦型三角函数性质与它的图像表征的部分信息，即正弦型三角函数零点、对称轴与单调性，期望获得正弦型三角函数的解析式表征，这是本试题设计的总体思路。把正弦型三角函数性质的几何形态用解析关系（等式关系和不等式关系）表达出来，是数形结合思想在本题的具体运用……

【考试中心的试题评价】本题题干给出了正弦型三角函数的零点、对称轴以及一个单调区间，考生要建立正弦型三角函数各种性质之间的关联，在建立关联的过程中，要把正弦型三角函数的性质用图像直观地表示出来。

对于正弦型三角函数的零点与对称轴的关系，首先需要认识到正弦型三角函数的对称轴对应的自变量取值就是正弦型三角函数的最值点，进而利用考生已知的 y = sin x 中零点与最值点的几何位置关系，最后把几何位置关系用等式关系表示。

在几何直观上，正弦型三角函数的任意一个单调区间都应该在半个周期内，把这个结果用不等式表示出来，就可以得到

的大致范围。

在得到

的范围后，考生容易把

= 11 作为

的最大值。这个错误的原因是在由零点和极值点推导

,

的过程，产生了增根，需要进行检验。由三角函数值的关系诱导的等式关系，往往产生增根，这是三角函数的基本性质（周期性）导致的……

【分析】借助三角函数考察了函数的零点、对称轴和周期的关系的认识。很多人得到

12时，就得到答案

=11 ，单调 =>

12 ，但反过来，并不成立，于是需要检验。求范围，一定要注意等价性。此题改为填空题更好，或者把选项改为 12,11,10,9 四个。从应试的角度来说，不少学生直接把 11 和 9 依次代入计算，使得考查的东西没有得到体现。

【点评】三角函数集单调性、对称性和周期性在一起的函数，此题进行了全面的考查。备考建议：借助三角函数，研究函数性质之间的联系。同时注意到单调性和周期性的联系：

【答案】5

点评：考查三角函数的各种性质，综合性较强，图像法是最重要的方法。