2021巴尔干数学奥林匹克（BMO）中文翻译

1.数列定义如下: , 对任意, , .
求证: 对任意互素的正整数, 存在非负整数, 使得 且 .

2.求所有函数 , 使得对任意正实数, 均有.

3.正整数满足方程. 若为素数, 求证为合数.

4.安吉尔有个垃圾房, 其中有堆垃圾,每堆有个垃圾. 每天早上, 安吉尔执行以下两个操作中的任意一个:
(A)他在每堆垃圾中清除一块垃圾.
(B)他任选一堆垃圾, 清除其中的所有垃圾.
但是,每天傍晚, 一个恶魔嵌入垃圾房, 并执行以下两个操作中的任意一个:
(A)他在每个非空的垃圾堆中增加一块垃圾.
(B)他在空地上扔一块垃圾,形成一个新垃圾堆.

那么,安吉尔要保证清除这个垃圾房中的所有垃圾,至少需要多少天?

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。