中考数学压轴题分析：手拉手旋转问题

本文内容选自2021年湖北中考数学几何压轴题。题目以两个共顶点的等腰三角形为背景，涉及几何证明与求值问题，难度不大。

本题为常见的手拉手模型，比较值得研究，可以进行适当的变式与拓展。

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【中考真题】

（2021·湖北）已知和都为等腰三角形，，，．
（1）当时，
①如图1，当点在上时，请直接写出与的数量关系：　　；
②如图2，当点不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
（2）当时，
①如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由；
②当，，时，请直接写出的长．

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【分析】

（1）①直接观察即可。②根据SAS来证明全等即可。

（2）①由于图形发生变化，等量关系也随之变化。由于等腰直角三角形，因此易得为√2倍。全等不行，可以考虑用相似。也是利用边角关系进行证明。难度不大。

②本题只需写出结果，本小题还是有一定难度。知道AB，就知道了AC的长。而且已知AD的长。再求DC的长，则相当于解三角形了。如果知道∠DAC的度数即可。根据平行易得∠DAC的度数，构造直角三角形进行解三角形即可。

但是除了图3中给的情况之外，其实还有可能会出现另外一种情况，如下图所示：

此时AC比DC大，因此求出来的又是另外一种结果。

本题的难点在于分类讨论。
【答案】解：（1）①当时，和均为等边三角形，
，，
又，
，
，
故答案为：；
②，理由如下：
当点不在上时，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）①，理由如下：
当时，在等腰直角三角形中：，
在等腰直角三角形中：，
，，

在和中，
，
，
，
，
②或，理由如下：
当点在外部时，设与交于点，如图所示：

，
由上可知：，，
又，
，
而，
，
，
，而，
，
在中：，
又，
（或，
在等腰直角三角形中，．
当点在内部时，过点作于

，，
，，
，
综上所述，满足条件的的值为5或．