立体几何多动点最值问题的求解策略

(江苏省东台市三仓中学，顾小存)

立体几何中的最值问题是高考热点.在涉及到多个动点最值问题中,一般都有较强的综合性和技巧,因而更能考查学生的能力,是考试的难点.本文结合实例说明此类问题的求解策略.

一、动中觅静

这里的“静”是指问题中的不变量或者不变关系,动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．“静”只是“动”的瞬间,是运动的一种特殊形式,然而抓住“静”的瞬间,使一般情形转为特殊情形,问题迎刃而解.

例1 如图1,在正四棱锥ABCD中,SO⊥平面ABCD于点O,SO=2,底面边长为

点P,Q分别在线段BD,SC上移动,则P,Q两点间距离的最小值为( )

解 如图1,先让点Q在SC上固定,点P在BD上移动,结合对称性易知此时点P与O重合时,PQ⊥BD,PQ局部取最小值OQ;再考虑点Q在SC上运动,易见OQ⊥SC时,OQ局部取最小值.可见BD和SC的公垂线段OQ的长为所求. 在Rt∆SOC中,

故选B.

二、降维处理

将立体几何中的问题转化到同一个平面上来考虑,再用平面几何知识解决问题.

例2 如图2,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱A1D1,C1D1的中点,N为线段BC1的中点.若点P,M分别是线段BD1,EF上的动点,则PM+PN的最小值为______.

解 如图2,设O为BD中心,由对称性知PN=PO,只要求PM+PO的最小值.又由条件易知EF⊥面BDD1B1(过程略).设EF∩B1D1=M1,则PM+PO≥PM1+PO≥M1O,问题可在同一平面BB1D1D上解决.

在矩形BB1D1D中,当P,M,O共线时,PM+PO取最小值.作M1K∥D1D交BD于点K,由E,F分别是A1D1,C1D1的中点,可得

在Rt∆MOK中,

故PM+PN的最小值为

三、展开法

对处理空间图形侧面上某两点之间的最短距离问题,一般是将其侧面展开为平面图形,然后利用两点间线段最短求出最小值.

例3 如图3,已知三棱锥A-BCD的底面是等边三角形,三条侧棱长都等于1,且∠BAC=30°,动点M,N分别在棱AC,AD上运动,求∆BMN周长的最小值.

解 将三棱锥的侧面沿AB展开为平面图形(如图4),问题转化为求两点B,B′之间的最短线段BB′的长.

在∆ABB′中,因为∠BAB′=3∠BAC=90°,AB=AB′=1,所以

即∆BMN周长的最小值为

四、构造函数

以题中的变量参数为自变量,将所求最值问题转化为以该变量的函数,再用函数知识求解.

例4 已知正方形ABCD,ABEF的边长都是1,且平面ABCD⊥平面ABEF.点M在AC上移动,点N在BF上移动,若

求MN的最小值.

解 如图5,作MP∥AB交BC于点P,NQ∥AB交BE于点Q,连结PQ.依题意得MP∥NQ,且MP=NQ,即四边形MPQN为平行四边形,有MN=PQ.

由ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,且面ABCD⊥面ABEF,得PB⊥QB.又

所以有

当

时,

即M,N分别为AC,BF的中点时,MN取最小值

五、坐标法

根据题中的特殊条件(如垂直、平行等条件),可建立适当的空间直角坐标系,利用空间两点距离公式(或相应向量的模)求解.

例5 问题同例4.

另解 如图6,以A为原点,以AF,AB,AD所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.由已知题设条件CM=BN=a，易知点

由两点间距离公式(或向量模的计算公式),知

即MN取最小值