【名师支招】中考数学压轴题的多维度思考 / 开普饭

2021年上海市数学中考第25题

从标识条件入手分离基本图形

① 标记“∠ABC=90°、O是对角线AC中点”，局部形成了直角三角形配斜边上中线，得：“AO=OC=OB”.

② 标记“AD=CD”，

得：“∠DAC=∠DCA”，

由于AD∥BC，OC=OB，

得：“∠DAC=∠DCA=∠ACB=∠OBC”.

由此发现什么？

（1）由于∠DAC=∠DCA=∠ACB=∠OBC

得：△ACD△BCO，第一题第1问解决

（2）由于“BE⊥CD”即“∠BEC=90°”，

得：“∠DCA=∠ACB=∠OBC=30°”，

进而绘制简图如下，易得：AD:BC=2:3

（3）当点E在边CD上，

标记条件：“DE=2、OE=3”，

标记：“EC=x、AO=OC=OB=y”

从中看到什么？

小结

处理这类问题的大致脉络是：

标记等角→特殊的几何关系→分离基本图形

从等量关系入手列方程求解答

就本题第2问，“点E在边CD上”情况论

解法（1）

解法（2）

点E是线段CD的一个分点，根据条件“AD∥BC”，于是考虑延长BE、AD交于点G，于是图中又多出现两组平行八字形.

解法（3）

进一步标角，寻求新的几何关系

可以发现∠G=∠ECO，

得：△DEG∽EOC，

后续解方程的过程类似，不再介绍.

小结

当然图中还存在其他几何关系，同时存在列出其他方程、有更多的其他解法，在此也不一一列举.注意到解决此问的一般解题流程为：

A）发现特殊图形(特殊图形关系)

B）挖掘图形中的几何(等量)关系，

C）设元，列出方程(联立构成方程组)，解方程(组)，检验根的取舍

值得注意的是，在考场特定环境下，不容学生去思考更优的解法，那么列出的方程势必解起来会比较困难，所以具备相当地运算能力就成为了解决压轴题的隐性的关键。进一步可以看到，打下扎实的计算功底有多么重要.

从图形特征入手转条件化难点

本题遇到的第一个难点就是画图，根据题意：联结BO并延长交边CD或边AD于点E.

（1）当点E在DC上，如图所示.……

（2）如果DE=2，OE=3，求边CD的长.

本题第1问中刻意强调点E在DC上，而第二题不再提及点E的位置，则暗示我们：“点E可能在边AD上”，然而如果按原图中边的长短关系画图（AD>BC），是画不出点E在边AD上的情况的.进一步观察下图，不难发现BC=AG，若延长BO与线段AD相交，则AG<AD=BC，即该梯形应为上底长、下底短.

根据题意画出符合实际情况的图本是学生应掌握的“基本技能”，然而外围图形确定，内部图形随动点而动的问题做多了，很多学生缺乏必要的应变能力，想不到“AD<BC”，需引起我们关注.

当点E在边AD上，此时图形特征是什么？

是OA=OE=OC=OB，对角线互相平分且相等，这就是矩形！由此可知AC=2OE=6，可知CE⊥AD，发现此时图形局部左右构成了两个直角三角形（Rt△AEC和Rt△ECD）

小结

近几年来，上海中考数学压轴题，图形简洁、要求明晰，力求回避套路，真正考察学生的数学思维与能力，这无疑对推动教学的变革是积极有益的.

从试题本身而言，通过标图识别特殊图形（特殊图形关系），利用几何关系积极设元、列方程，一个方程不够，继续挖掘几何关系列第二个方程，联立构成方程组.虽不像之前题目那样“大开大合”，“融合多种知识与方法”，但也可谓“小家碧玉”、“精致玲珑”，直指学生数学思维与素养。诚然，命题自然会留下命题人固有的命题习惯与思考，但从中还是能汲取不少有利的经验：

（1）在今后教学中，要着重要锻炼学生“眼力”，带领学生从“标图”入手从复杂的图形中分离出基本图形（基本图形关系）；

（2）能从几何等量关系入手，设元，列方程（组），需对计算能力需进行适当训练.事实上，计算能力是中考的“硬通货”，会在多也要算对支撑！

至于套路，一些常规、基本的图形和解题策略还是需要的，但更重要的是不能陷于套路，单纯以套路来设计学生的练习与测试等，这样必然会为套路所限.要适当扩充学生的做题面、知识面，尤其加强几何计算问题的训练，让学生真正能由一般通达全局，实现知识和技能与实际问题之间的融会贯通.

参考文献：2021上海中考24、25题解法分析（微信平台：初中数学微专题复习作者：万妍青）

【名师支招】中考数学压轴题的多维度思考

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