【名师支招】中考数学压轴题的多维度思考

2021年上海市数学中考第25题

01

从标识条件入手分离基本图形

① 标记“∠ABC=90°、O是对角线AC中点”,局部形成了直角三角形配斜边上中线,得:“AO=OC=OB”.

② 标记“AD=CD”,

得:“∠DAC=∠DCA”,

由于AD∥BC,OC=OB,

得:“∠DAC=∠DCA=∠ACB=∠OBC”.

由此发现什么?

(1)由于∠DAC=∠DCA=∠ACB=∠OBC

得:△ACD△BCO,第一题第1问解决

(2)由于“BE⊥CD”即“∠BEC=90°”,

得:“∠DCA=∠ACB=∠OBC=30°”,

进而绘制简图如下,易得:AD:BC=2:3

(3)当点E在边CD上,

标记条件:“DE=2、OE=3”,

标记:“EC=x、AO=OC=OB=y”

从中看到什么?

小结

处理这类问题的大致脉络是:

标记等角→特殊的几何关系→分离基本图形

02

从等量关系入手列方程求解答

就本题第2问,“点E在边CD上”情况论

解法(1)

解法(2)

点E是线段CD的一个分点,根据条件“AD∥BC”,于是考虑延长BE、AD交于点G,于是图中又多出现两组平行八字形.

解法(3)

进一步标角,寻求新的几何关系

可以发现∠G=∠ECO,

得:△DEG∽EOC,

后续解方程的过程类似,不再介绍.

小结

当然图中还存在其他几何关系,同时存在列出其他方程、有更多的其他解法,在此也不一一列举.注意到解决此问的一般解题流程为:

A)发现特殊图形(特殊图形关系)

B)挖掘图形中的几何(等量)关系,

C)设元,列出方程(联立构成方程组),解方程(组),检验根的取舍

值得注意的是,在考场特定环境下,不容学生去思考更优的解法,那么列出的方程势必解起来会比较困难,所以具备相当地运算能力就成为了解决压轴题的隐性的关键。进一步可以看到,打下扎实的计算功底有多么重要.

03

从图形特征入手转条件化难点

本题遇到的第一个难点就是画图,根据题意:联结BO并延长交边CD或边AD于点E.

(1)当点E在DC上,如图所示.……

(2)如果DE=2,OE=3,求边CD的长.

本题第1问中刻意强调点E在DC上,而第二题不再提及点E的位置,则暗示我们:“点E可能在边AD上”,然而如果按原图中边的长短关系画图(AD>BC),是画不出点E在边AD上的情况的.进一步观察下图,不难发现BC=AG,若延长BO与线段AD相交,则AG<AD=BC,即该梯形应为上底长、下底短.

根据题意画出符合实际情况的图本是学生应掌握的“基本技能”,然而外围图形确定,内部图形随动点而动的问题做多了,很多学生缺乏必要的应变能力,想不到“AD<BC”,需引起我们关注.

当点E在边AD上,此时图形特征是什么?

是OA=OE=OC=OB,对角线互相平分且相等,这就是矩形!由此可知AC=2OE=6,可知CE⊥AD,发现此时图形局部左右构成了两个直角三角形(Rt△AEC和Rt△ECD)

小结

近几年来,上海中考数学压轴题,图形简洁、要求明晰,力求回避套路,真正考察学生的数学思维与能力,这无疑对推动教学的变革是积极有益的.

从试题本身而言,通过标图识别特殊图形(特殊图形关系),利用几何关系积极设元、列方程,一个方程不够,继续挖掘几何关系列第二个方程,联立构成方程组.虽不像之前题目那样“大开大合”,“融合多种知识与方法”,但也可谓“小家碧玉”、“精致玲珑”,直指学生数学思维与素养。诚然,命题自然会留下命题人固有的命题习惯与思考,但从中还是能汲取不少有利的经验:

(1)在今后教学中,要着重要锻炼学生“眼力”,带领学生从“标图”入手从复杂的图形中分离出基本图形(基本图形关系);

(2)能从几何等量关系入手,设元,列方程(组),需对计算能力需进行适当训练.事实上,计算能力是中考的“硬通货”,会在多也要算对支撑!

至于套路,一些常规、基本的图形和解题策略还是需要的,但更重要的是不能陷于套路,单纯以套路来设计学生的练习与测试等,这样必然会为套路所限.要适当扩充学生的做题面、知识面,尤其加强几何计算问题的训练,让学生真正能由一般通达全局,实现知识和技能与实际问题之间的融会贯通.

参考文献:2021上海中考24、25题解法分析(微信平台:初中数学微专题复习 作者:万妍青)

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