理解数学基础的三种主要方式—逻辑主义、形式主义和直觉主义
整个数学的基础是什么？整个数学推理是关于什么的？要回答这样的问题，可能需要首先理解当代三大数学哲学，即形式主义、逻辑主义和直觉主义。典型的数学大师有希尔伯特（形式主义者），弗雷格（逻辑主义者）和庞加莱（直觉主义者）。
这三种哲学是在皮亚诺的五个算术公理之后不久出现的，该公理出现在《数学哲学导论》中：
0是一个数字。
任何数字的后继都是一个数字。
没有两个数字的后继数是相同的。
0不是任何数字的后继数。
属于零的任何属性，以及属于每一个具有该属性的数字的后继数的任何属性，属于所有数字。
皮亚诺确实找到了一个好方法，可以把整个算术过程简化为几个公理，他受到科学界大部分人的尊敬。然而，弗雷格继续提出这样的问题：整个数学是怎么回事？数字是综合的还是分析的对象？弗雷格在他最著名的作品中说：
一个命题为真和它被认为的不是一回事——《算术基础》(1884)。
对他来说，在“北海的范围是10000平方英里”这句话中，“10000平方英里”是关于北海的一种分类（通过“分类”，我们可以说它是一个“集合”）。但为了确定算术属于哪种集合，弗雷格运用了大量的逻辑哲学定义。也就是说，弗雷格将所有的数学实体简化为：
康托集合论的集合，
弗雷格自己规定的一些形成规则，
一些哲学思想的组合。例如，对他来说，北海只有存在才能为真（它是一种合成的对象），而任何数字概念，或任何数学真理，都需要遵循逻辑哲学规则才能为真（因此，数学对象将是分析性的）。
你可能会注意到，弗雷格不是一个经验主义者。但他错了吗？例如，国际象棋并不能很好地代表两个王国之间的战争，但是我们可以基于逻辑规则（即基于游戏规则）去定义什么是象棋比赛中的真正好的一步棋。
弗雷格在做一项非常艰巨的工作，因此他现在被认为是命题演算的主要名称之一，他是分析哲学之父。
然而，罗素在1902年给弗雷格写了一封非常著名的信，在信中他注意到康托尔的集合理论（以及弗雷格的思想）中有一个悖论。弗雷格不仅承认了其中的矛盾，而且还在他的第二部巨著《算术基本定律》中加入了关于罗素信的注释。
事实上，泽梅洛（ Zermelo）早前就发现了这个悖论，但注意到它非常重要的是罗素。这就是我们实现悖论的方式：
现在让我们集中注意这个概念：不属于自身的类。因此这个概念的外延（如果我们可以谈论它的外延的话）就是，不属于自身的那些类构成的类。为简化起见，我们称它为类K。那么，这个类K是不是属于自身。首先，让我们假定它属于自身。如果一个东西属于一个类，那么它就归属于以这个类为其外延的概念。这样，如果类K属于自身，那么它就是一个不属于自身的类。因此我们的第一个假定导致自相矛盾。第二，让我们假定类K不属于自身，这样它就归属于自身为其外延的概念，因此就属于自身。这里我们又一次得到同样的矛盾。
罗素提出这个悖论后，逻辑学家和数学家们开始问：“那么，什么集合可以包含，什么集合不能包含？”从那以后，没有人知道该做什么。
诚然，罗素试图找到一个解决方案，但正如维特根斯坦注意到的那样，他在武断地审查悖论。维特根斯坦在回应罗素时写道：
只有表达的描述（即逻辑中的任何句子）是可以预设的。维特根斯坦《逻辑哲学论纲》(1921)。
因此，罗素和弗雷格似乎没有建立起一个完整的数学基础——或者，至少他们的工作是不完整的。由此形成了关于数学基础问题的三种主要立场：逻辑主义、形式主义和直觉主义。
逻辑主义
根据论文《寻找数学根》：
法语单词“Logistique（逻辑）”是由路易·库蒂拉（ Couturat ）等人在1904年的国际哲学大会上引入的，从那以后就被罗素等人使用。
这篇逻辑学论文可以总结如下：
纯数学是逻辑的一个分支。《数学的本质》(1933)。
其中一些最重要的专家包括罗素, 弗雷格, 库蒂拉和泽梅洛；根据布莱克的说法，我们可以在莱布尼茨身上看到：
整个逻辑概念的萌芽。《数学的本质》(1933)。
这种解释的主要原因是，函数的概念是由莱布尼茨引入的，它使空间计算的算术化成为可能（也就是说，不再需要绘制几何图形来计算其性质）。让我们看看莱布尼茨在写给惠更斯的一封信中是怎么说的：
（……）通过计算来分析一个图形的性质往往是困难的，即使代数计算已经完成，要找到非常方便的几何证明和结构就更困难了。但是这个新的特征（函数），跟随视觉图形，不能同时给出解决方案，结构和几何演示，以一个自然的方式和一个分析，即通过确定的程序。威廉·莱布尼茨的哲学论文和文学(1989)。
莱布尼茨的函数为算术提供了几何计算的可能性。因此，数学家们发现了使用更多符号计算的新方法。例如，他们发现了逻辑的新可能性（如布尔的逻辑）。然后，逻辑学家认为这些函数可以帮助描述整个数学推理的基础。
形式主义
根据布莱克的观点，形式主义者认为纯数学是“符号形式结构的科学”。他们否定了
数学概念可以简化为逻辑概念。《数学的本质》(1933)。
实际上，在对数学基础的讨论中，形式主义者创造了逻辑和数学之间的对立。
主要形式主义者是大卫·希尔伯特。他是第一个使用“形式主义”这个术语的人。虽然，他并没有打算用它来指代数学中的哲学立场。
在他关于数学基础的论文中，希尔伯特确实使用了德语单词“形式主义”，但并不是用来表示数学对象本质问题的哲学态度。形式主义意味着形式系统或形式语言，两者都是数学逻辑的技术概念，这个术语被使用仅仅在技术意义上，即形式化是逻辑研究的必要工具。
“形式主义”最初是由鲁伊兹·布劳威尔（Luitzen Brouwer）作为哲学立场提出的。对布劳威尔来说，希尔伯特是基础数学。
布劳威尔否定希尔伯特的哲学，希尔伯特自己总结如下：
如果任意给出的公理彼此不矛盾，那么它们为真，由公理定义的事物存在。
布劳威尔的批评确实中听，然而，希尔伯特的方法为欧几里得几何奠定了第一个一致的基础（这让整个科学界都很高兴）。
下面是形式主义哲学的另外两个重要名字：卡尔纳普和奎因（ Carnap and Quine）。
卡尔纳普被认为是最伟大的逻辑实证主义者（或逻辑经验主义者）之一，他也是'科学哲学’这一新领域的创始人之一，后来又成为语义和归纳逻辑的主要贡献者。
他对数学基础的看法是：
形式主义的观点是正确的，它认为系统的构建可以纯粹形式地实现，也就是说，不考虑符号的意义。
另一方面，奎因被认为是20世纪后半叶最有影响力的哲学家之一。在他关于本体论、语言哲学和认识论的文本中，他实现了数学哲学。让我们来看看。他否认了：
试图将外部世界的知识建立在所谓的超验和自我确认的精神体验之上。
对他来说：
“自然化认识论”的任务，只是对科学知识是如何获得的给出一个心理学解释。
他明白数学理论是科学理论的重要组成部分，它们也是由经验证实的。所以奎因认为“经验”将负责决定一个命题在形式科学中是真还是假，也就是数学。这篇论文是他分析命题和综合命题之间的整体统一的一部分。如果这种统一性得到证实，那么形式主义就只需要以经验为基础来建立它的基本命题。
直觉主义
布劳威尔是第一个给“直觉主义”和“形式主义”赋予哲学意义的人。他认为逻辑主义和形式主义之间没有区别。在他看来，形式主义者和逻辑学家只是在证明数学实体在语言上的存在。
布劳威尔相信数学哲学不仅需要一致性。对布劳威尔来说，需要直觉来证明数学实体的“存在”。然而，这种直觉主义的要求似乎既不实用，也不具有数学生产力。
除了布劳威尔，直觉主义还有其他一些重要的名字，如克罗内克和海丁。但是没有一个比庞加莱更有名。庞加莱想为康德辩护，使其免受“新逻辑”的攻击（例如，弗雷格直接反对康德的数学哲学）。事实上，随着一些“反直觉”科学理论的出现，如达尔文的进化论、非欧几里得几何，以及后来的爱因斯坦的相对论，康德的“纯粹的直觉形式建立了整个理性思维”的思想正在失去竞争力。所以庞加莱试着调和康德先验直觉的纯粹形式和他所理解的科学家的创造性。
总结
逻辑主义：数学的基础可以通过形成规则，或“语法”规则，和一些哲学概念等逻辑元素来实现。
形式主义：形式元素可以作为数学的基础，但不一定是逻辑元素（我认为哲学性越低越好）。
直觉主义：指出非形式但“直觉”的学科是数学基础的基础。我想说的是，他们并不排斥关于数学本质的深刻哲学问题。