二次函数的一个教学难点

好像很多数学老师觉得，无论怎么样学生也不会平移函数图像，比如你要问 是由 怎么移动过来的，学生总是答错，特别是左右平移带来的问题。那应该怎么解决呢？

确实不好解决，但也不是完全没有办法。

在对前面的函数配方成为 以后，一个最好的方法是用特殊值法：原来函数图像的顶点 现在变成了 ，所以函数是向左移动了 个单位，向上移动了 个单位。至于顶点为什么是 而不是 也很容易解释，那是因为可以容易看出顶点纵坐标是 ，既然如此，让配方后的函数值等于 ，就容易得到这时的 等于 了。

我曾经说过，会做题不难，难在明白。具体到本文的问题，“明白”就是要想通这个问题：为什么和纵向移动有关的那个 （这里关键是大于 ，具体数值倒在其次）就能让图像上移，而和横向移动有关的那个 （注意也是大于 ）却让图像左移？为什么会有区别？如果学生想不通，将来还会出问题，比如以后遇到正余弦曲线的时候。我想先问问读者中的老师，你们怎么给学生解释？如果要问我，我会让学生把 移动到等号左边变成 。这样的好处是：首先，和左右移动有关的数紧挨着 （注意是 的完全平方），而和上下移动有关的数紧挨着 ；其次，既然和上下移动有关的数字（现在是 了，小于 ）能让函数上移，那么和左右移动有关的数字（，大于 ）让函数左移，就也不会是什么不好理解的事了。

另外一个经常让数学老师恼火的事情是，初中讲函数的时候经常移动函数图像，而高中讲解析几何的时候却经常移动坐标轴，偏偏这两者对方程的影响是相反的。我个人觉得，初中讲函数时的重点是研究变量之间的关系，比如我们先研究了一个自由落体的运动方程，再研究一个抛体运动的，就要把自由落体的运动方程平移一下。但是解析几何经常需要根据问题研究的方便程度来设定坐标系，这就涉及坐标的移动。但是无论哪种情况，只要掌握了特殊值法（特殊值可能是图形的某个顶点，也可能是直线和坐标轴的交点，或者是有心曲线的中心等等），再弄清楚“动”的是谁，就可以了。

举例来说，两个圆方程分别为 和 ，前一个圆的中心是 ，后一个圆的中心是 ，如果是第一个圆经过图形平移后成为第二个，那就是图形左移 个单位，上移 个单位；如果是第一个圆经过坐标轴平移成为第二个，则坐标轴右移 个单位，下移 个单位。为避免混淆，可以在草稿纸上画出坐标和图形，如果是图形移动就画两个图形，如果是坐标移动就画两套坐标轴（无论是移动谁，都把后来的画成虚线以示区别）。以上是我手画的结果，第一个图表示移动曲线，第二个图表示移动坐标轴，读者凑合看吧。之所以徒手绘制而不是用电脑或者尺规，就是为了考试的时候方便。