发明，还是发现？数学本质的哲学之辩
《最后的数学问题》是美国天体物理学家、数学史学家马里奥·利维奥（Mario Livio）的英文原著 Is God a Mathematician 的中译本第二版，译者黄征，2019 年 9 月人民邮电出版社出版。作者通过历史上大量的例子和故事，试图梳理和展现一些重要数学概念的演进，从哲学、历史、文化的角度全方位地探讨数学的本质，澄清数学与物理世界以及人类认知的关系，从而帮助读者理解数学在人类认识宇宙的历程中所扮演的角色。本书问世十多年以来，已成为一本畅销世界的数学思想史经典著作。去年本人得到出版社赠书，读毕受益良多、颇有共鸣，特撰写此文以飨读者。
作者在书中开篇明义地提出了困惑人类的千古之谜及数学的终极问题：“上帝是数学家吗？”这里他并不是对于上帝和数学适用性的形而上学的探讨，而是强调“数学'无所不在、无所不能’的力量通常只有在人们描述一位神明时才会用到”。上千年来的数学研究和哲学思考都没有真正解释清楚数学力量的奥秘，爱因斯坦曾好奇地发问：“数学，这个独立于经验的人类思维的产物，为何能如此完美地符合物理实在中的对象？”当代英国著名数学物理学家罗杰·彭罗斯认为，人类周围不仅有一个世界，而且应该有三个神秘世界：意识感知的世界——我们所有精神影像的家园，客观存在的物理现实世界，数学的世界。这三个世界神秘地联系在一起，形成一个闭合的圆。人类主观认知能力的源泉——感知心智，似乎也来自物理世界。通过发现或创造抽象的数学公式和概念，并将它们清晰地表达出来，感知心智才得以奇迹般地进入数学王国之中。
作者因此提出了与之相关的另一个问题：“数学是否独立于人类的思维而存在？”或通俗地说，数学是独立于人类心智的存在进而被发现，还是人脑的发明或创造？从古至今的哲学家、数学家、物理学家、认知学家和哲学家们因此分成了“发现派”和“发明派”两大阵营，每一方的论点都会被对方举出无穷多的反例，争论至今，互不相让。两位当代数学大神——法国数学家阿兰·孔涅（1982 年菲尔兹奖和 2001 年克拉福德奖得主）及英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士（1966 年菲尔兹奖和 2004 年阿贝尔奖得主），可以称为两派人物的代表。前者认为：“我们面对的数学现实与物理现实一样无可争议。”后者则确信：“通过理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人类创造了数学。”作者正是从这一问题出发，在书中深入研究探讨了两大阵营中的许多哲学问题，将古往今来伟大数学家和科学家的传奇经历、重要贡献、远见卓识编织成一幅恢弘的历史画卷，在读者面前徐徐展开。
“发现派”被称为“柏拉图主义者”，他们认为数学产生于某种神秘的思想领域或上帝灵感的客观存在，最早可溯源到以“万物皆数”为座右铭的毕达哥拉斯学派和“西方三圣贤”之一柏拉图等古希腊先哲。毕达哥拉斯学派是纯数学的奠基人，他们早就惊叹于数学塑造及支配宇宙的能力，同时意识到数学的存在貌似无法被人类改变。作者这样写道：“毕达哥拉斯学派将宇宙真正地嵌入到数学中。实际上，对于毕达哥拉斯学派来说，上帝不是一位数学家，数学就是上帝！” 古希腊宗教的神学基础是多神信仰，因此这里的“上帝”并不是后来基督教中的那一个。公元前 400 年左右无理数的发现，引发了史上第一次数学危机，成为数学史上的重要里程碑。柏拉图最先把数学、科学、语言学、宗教、伦理等学科融合在一起，认为数学真理是指存在于理想世界中抽象无形的客观真相。这个理想世界是所有真理和完美的汇集地，与我们感知到的、短暂的世界无关，数学形式的柏拉图世界与物理世界也截然不同。数学家在某种意义上等同于探险家，他们只能发现真理，却不能发明真理。
在人类历史上，始终不乏先驱思考万事万物的根源，探索宇宙的构成方式和规则。作者称这些先贤为“魔法师”，即“那些发现了过去从未被思考过的数学和自然之间联系的人，那些能够观察复杂的自然现象并从中提炼抽象出如水晶般晶莹剔透、简单易懂的数学规律的人”，并开出了一份魔法师名单。
这份名单中的每一位都是柏拉图主义者，排在首位的是希腊化时代的阿基米德，他在数学领域的成就至少领先同代人一个世纪，另外三位则是 16 至 17 世纪科学革命时代的巨匠：伽利略、笛卡儿和牛顿。伽利略是阿基米德的忠实“粉丝”，他发展了由哥白尼与开普勒开创的“日心说”理论，为此后几个世纪中数学的极大发展提供了关键动力。笛卡儿成功地整合了代数与几何学，将人类认识自然界的视角从定性描述转为定量分析。牛顿在其名著《自然哲学的数学原理》中证明了万有引力定律，还和莱布尼茨各自独立地创建了曾被阿基米德预言过的微积分学，把笛卡儿“用数学描述宇宙”的思想变成了现实。这三位魔法师从根本上改变了数学和自然科学之间的关系，从而大大激发了数学家们的热情。
在 19 世纪之前，占主流地位的世界观认为数学是自然的语言，人类只能发现而不能发明数学。第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，直觉和经验不一定靠得住，因此几何学开始在古希腊数学中占有特殊地位。公元前 300 年左右，欧几里得在 13 卷巨著《几何原本》中从十条“不证自明”的公理出发，通过逻辑推理的方法建立了几何学体系，在西方成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。欧氏几何学一直被奉为“真理”和“确定性”的完美典范，提供了关于宇宙确实存在的无可辩驳性最稳固的理论证据，牛顿的《原理》就是完全按照《几何原本》的公理化模式写成的。利用牛顿和莱布尼茨创立的微积分学以及后来发展的微分方程，数学家们可对各种复杂的物理现象从数学理论上提供解释。为了将类似的数学原理用于解释生物学、社会学或经济学等不确定性科学，一些具有天才智慧的思想者们还发展出了全新的、革命性的数学工具——概率论和统计学，使得数学也成为描述和解释一些最混沌的人类活动的语言。
尽管如此，几个世纪以来人们对于欧氏几何学中的第五公设即“平行公理”的质疑始终不绝于耳。19 世纪上半叶，罗巴切夫斯基、亚诺什、高斯、黎曼等人选择了不同于第五公设的公理，分别独立地创建了全新的几何学——双曲几何与椭圆几何。非欧几何学的出现极大地震撼了数学世界，动摇了 2000 多年间被公认的欧式几何学对于物理空间描述的唯一性。这一事实让人们产生疑问：数学似乎是人类的发明，而非独立存在于人类思维之外等待被发现的真理。19 世纪中期，格拉斯曼创立了任意维空间的几何学，其主要思想构成了近代一个重要的数学分支——线性代数。在他看来，数学更是人类思维的抽象创造，不一定对现实世界有任何应用，因此数学不再局限于描述三维可观察的世界。另一方面，脱离物理现实使得某些数学家重新回到柏拉图“数学是独立的真理世界”的思想，这个真理世界的存在和物理世界的存在一样真实，非欧几何以及后续发展使得数学家们开始专注于数学基础的研究。
从 17 世纪末莱布尼茨开始，到 19 世纪中后期经过德摩根、布尔、弗雷格等人的发展，逻辑代数日臻成熟。康托尔认为：“数学的本质完全在于它的自由。”他和戴德金建立的朴素集合论，与逻辑代数可视为硬币的正反两面，为数学的统一提供了一线希望。到 19 世纪末，数学的目标从研究自然的真理转变为构建公理体系，以及探索公理在逻辑上所有可能的结论，从而将数学和逻辑这两个完全独立的领域紧密联系在一起。20 世纪初，以弗雷格和罗素为代表的逻辑主义、以希尔伯特为代表的形式主义、以布劳威尔为代表的直觉主义三大学派之间发生了激辩，从而引发了史上第三次数学危机。为了缓解集合论中的罗素悖论，策梅洛和弗兰克尔以自洽的方式公理化了集合论。然而与欧氏几何中的第五平行公理一样，ZF 公理系统中的选择公理既不能被证明，又不能被证伪，又一次引起数学家们的强烈质疑。1931 年哥德尔证明了公理系统的不完备定理，指出任何功能强大到足以引起人们兴趣的形式系统，本质上要么是不完整的、要么是不一致的，使得数学基础研究发生了划时代的变化。
物理学家维格纳称数学在周边世界的成功应用为“数学无理由的有效性”，本书作者将其分成“主动的”和“被动的”两方面，这是发现与发明的另一种表述。主动的有效性是指科学家用清晰一致的数学术语系统地阐述自然规律，具有不可思议的普适性与精确性，例如牛顿的万有引力定律、麦克斯韦的电磁学方程式、爱因斯坦的广义相对论等。被动的有效性则指抽象数学理论在其自由发展的过程中并没有考虑直接的实用性，后来人们才发现这些理论为物理现实问题提供了解决方案。开普勒和牛顿发现了太阳系行星运动轨道是椭圆形，而这类曲线早在公元前 350 年就已被古希腊数学家研究过了。爱因斯坦解释宇宙结构的工具，则是 19 世纪出现的黎曼几何。纽结理论是这两种有效性的典型范例，它诞生于 19 世纪关于原子结构的错误模型，然而作为一门理论数学分支却在 20 世纪不断演化，却又出人意料地在脱氧核糖核酸（DNA）分子结构、弦论等现代科学领域中获得广泛应用，充分展示了数学的某种不可预知的力量。
现在回到最初的问题：“上帝是数学家吗？”近代科学家的宗教信仰不尽相同，心目中的“上帝”也不一样，但都不再是宗教神学中人格化的“神”。喊出“我思，故我在”的笛卡儿一直试图在宗教与科学之间寻找一种妥协，他的上帝是所有真理的最终源头、人类推理可靠性的唯一保证，也是数学世界和物理世界的创造者。牛顿眼中的上帝首先是一位数学家，他在《原理》一书中这样表述自己的思考：“太阳、行星和彗星构成的这种最美丽的系统，只能产生于某种智慧、强大的存在，并受其支配。”19 世纪初，拉普拉斯将牛顿的万有引力定律推广到整个太阳系，他在星云假说中提出了一位被后人称为“拉普拉斯妖”的全能智者。但拉普拉斯不是基督徒，因此这位智者并非耶和华上帝。爱因斯坦这样说：“我信仰斯宾诺莎的上帝，一个通过存在事物的和谐有序体现自己的上帝，而不是一个关心人类命运和行为的上帝。”斯宾诺莎将上帝和宇宙视为一体，被认为是一种隐蔽的无神论。
“数学是人类发明还是发现”是一个跨学科课题，不是数学自身能够独立解决的，因此本书涉及了许多现代生物学家、认知科学家和语言学家的理论和观点。认知学家不赞成柏拉图主义的物理世界，认为数学是与人类天性的一部分，数学的终极根基是人类的感知和人们能够唤起的心智图像。有些科学家基于对大脑功能的研究和实验，认为人类借用了构造语言所使用的心智工具，才对数学产生了深刻理解。作者指出：“发明还是发现”其实是一个伪问题，暗示数学必须非此即彼，因此具有误导性。在他看来，数学是发明与发现的结合，公理和概念是发明，而定理作为连接这些概念之间的桥梁则是发现。一些以经验为基础的发现促进了概念的形成，但概念本身无疑也刺激了更多定理的发现。有关这一问题的讨论揭露了数学的一个有趣特征：数学是人类文明的重要组成部分，许多发现和一些意义重大的发明大概都源于数学的文化复杂性。而数学的另一特点——永久正确性，则赋予数学本身无限的生命力。
本书中文版语言生动、文笔流畅，但也不无瑕疵。例如译者在书中几处提到“耶稣教会”，显然是混淆了“基督教”（Christianity）与“耶稣会”（Society of Jesus）的区别。基督教是信仰耶稣基督为神之圣子与救世主的一神教各教派统称，于公元一世纪创立，后分裂为天主教、东正教、新教三家。而耶稣会则是在宗教改革的冲击下，于 1534 年在巴黎成立的天主教会主要男修会之一，其最大特色是兴学办教育。耶稣会在世界各地兴办了多所治学严谨的学府，吸纳自然科学研究成果，成为当今世界最大的办学团体之一。解析几何之父笛卡儿，明清年间来华的传教士利玛窦、汤若望、南怀仁、郎世宁，与利玛窦一起翻译欧几里得《几何原本》前六卷的徐光启，以及现任教宗方济各等均为耶稣会会士。400 多年前就是利玛窦将 God 译成中华传统文化中的“上帝”，本书中出现的耶稣会神父兼科学家有：克里斯托弗·沙伊纳（第 85 页）、克里斯托弗·克拉维思（第 96 页）、吉罗拉莫·萨凯里（第 184 页）等人。
本书中选择的数学家故事，在某种程度上反映了作者的天体物理学家背景和个人偏好，例如他没有提到 17 和 18 世纪有关微积分定义中无穷小量的第二次数学危机。而正是这场危机最终完善了微积分定义以及与实数相关的理论系统，促进了 19 世纪的分析严格化、代数抽象化及几何非欧化的进程。
当然，如同作者所言，本书“无意成为一本全面的数学史”，而且“没有一本书能给予那些在帮助人类认识宇宙、理解规律方面做出突出贡献的科学家和数学家完全公正、客观的评价”。数学并不是万能的，哥德尔的不完备定理表明数学本身也存在局限性，无法从各个层面描述宇宙。作者以罗素在《哲学问题》中的一段话作为结束语：“……哲学本身就是寻找问题。正是这些问题拓展了我们对可能性这一概念的认知，丰富了我们的智慧想象，让我们放弃执念，引导心智不断去猜想。但更重要的是，哲学思考的是宇宙之浩瀚，而人类心智也会随着这种思考变得深邃，并逐渐与宇宙融为一体，臻于完善。”这大约也正是作者撰写本书的初衷。