数与图(17)——导数与变化
经常在新闻中听到“全球经贸增速放缓”、“经济增长遭遇拐点”这样的叙述，那么你是如何理解“拐点”这个词呢？图1中有三种关于拐点的想象，你倾向于哪一种呢？是改变方向？是由上升转为下降？还是另有其他的含义呢？
图1 关于“拐点”的想象
其实拐点是微积分中的术语，它指的是一个函数的二阶导数为零的点。
在《数与图(15)》中，我们了解到函数的一阶导数标志着函数在某一点D的增长率，在图像上体现为曲线在D点的陡度，准确地说是曲线过D点切线的斜率。在《数与图(16)》中，我们为抽象的x、y赋予了具体的含义：位移s与时间t，这样一阶导数也有了具体的含义——速度v。本文继续讨论与导数有关的应用，这次我们关注二阶导数的含义。
定性地说，一阶导数表示函数的增长率，因此，只要y随x的增加而增加，那么我们就说这个函数是增函数，如图1下图中下面的曲线。对于增函数来说，它的一阶导数>0，即切线斜率>0。一旦y随着x的增加而减小，那么函数就变为减函数，如图1下图中上面的曲线，在曲线上升到最高点后，开始进入下降区间。减函数的一阶导数<0，即，切线斜率<0。
依然定性地说，函数的二阶导数表示函数一阶导数的增长率，也就是切线斜率的增长率。举例来说，在图1下图中，上面的曲线经过了由“下凹”到“上凸”的变化过程，在这个过程里，曲线的切线斜率经历了由增大到减小的改变，而改变的分界点就在图中标有“拐点”的位置。在拐点左侧的“下凹”区间内，切线斜率逐渐增大，而过了拐点后，曲线进入“上凸”区间，这时切线斜率开始逐渐减小，直到曲线的最高点，斜率变为0。图1下图中下面的曲线则刚好相反，拐点左侧上凸，切线斜率减小，而拐点右侧下凹，切线斜率增加。
让我们来写一段程序，演示六次幂函数曲线在[-2,2]区间内切线斜率的变化。
我们要实现的目标包括下面几个步骤：
在直角坐标系中绘制6次幂函数的曲线；
让x在区间[-2,2]之间取值，取值间隔是0.02，针对每个x，计算出y；
求过每一个(x,y)点的切线方程，找到切线上的两个点，将其坐标保存在列表中；
随着时间的推移，依次绘制列表中保存的切线。
首先，在《数与图(16)》的项目基础上，添加一个按钮组件，命名为“画切线按钮”；再添加一个计时器组件，命名为“切线计时器”，设计时间隔为50（毫秒），取消勾选“启用计时”属性；修改文本输入框中的绘图参数，如图2所示。
图2 修改用户界面
然后编写程序，创建两个有返回值过程——“直线截距b”及“直线坐标对列表”，代码如图3所示。直线截距b过程相对简单，这里需要解释一下直线坐标对列表过程。
图3 添加两个有返回值过程
在图3的过程里，利用循环语句遍历[-2,2]区间内间隔为0.02的每一个x，针对每个x，求出幂函数所对应的y座标，然后求过(x,y)点的导数k，进而求出截距b。有了k、b，切线方程就确定下来。在《数与图(16)》中我们讨论过绘制切线的程序，其实只需要两个点即可绘制出直线，因此这里选用最小X和最大X作为绘制切线时的x坐标，根据直线方程（一次函数）求出相应的y坐标，并保存到局部变量“单线列表”中，再将每一点所对应的“单线列表”添加到局部变量“返回列表”中，最后输出“返回列表”。
有了上面两个过程，下面来编写事件处理程序，代码如图4所示。
首先声明两个全局变量——直线索引及直线坐标对列表，在画切线按钮的点击事件中，首先设全局变量“直线索引”的值为1，然后计算出绘图所需的幂函数曲线及切线数据，最后启动计时器。在每一次计时事件中，先绘制坐标系，再绘制幂函数曲线，最后绘制切线，并让全局变量“直线索引”递增1。当全部切线绘制完成后，让计时器停止计时。
图4 编写事件处理程序
现在进入测试环节，测试结果如视频1所示。
视频1 连续绘制幂函数曲线的切线
仔细观察测试视频，你会发现当切线绘制到两个长的斜坡处时，切线几乎停在斜坡处，过了许久才从斜坡处离开。这说明斜坡处的切线斜率几乎保持不变，而斜率保持不变的另一种说法，就是斜率为常数，而常数的导数为零，由此得出幂函数在斜坡处的二阶导数为零，这就是拐点的含义。
从视频中还可以观察到，在曲线的最低点（x≈0.25）及最高点（x≈1.35）处，切线平行于x轴，此时切线的斜率为0，即，幂函数的一阶导数为零。由此可以得出以下结论：函数在极值点处一阶导数为零。但是反过来是否成立呢？也就是说，导数为零的点，是否一定为极值点呢？答案是否定的，例如y=x3，在x=0时，一阶导数为零，而(0,0)点却不是极值点，不过该点的二阶导数也为零，因此该点是拐点。
通过上面的实验，想必你已经对拐点、极值点有了一些基本的认识，了解这些概念的目的，是为了用这些知识来解决问题。很多现实世界中的事物，它们的变化是有规律的，这些规律可以用数学的方式表达出来，或者表示成函数，或者绘制成曲线，一旦它们被表示成函数或曲线，那么就可以用求导的方法，分析它们的变化趋势，如经济运行的态势，股票的涨跌，气候变化的趋势，等等。即便我们暂时还找不到可以研究的课题，至少也可以听懂新闻中的那些术语。