高考数学思想研究：直线与圆的位置关系
在这非常时期
这篇推送
能给宅家的孩子们
送去小温暖么
直线与圆
三种位置关系：相离、相切、相交
位置关系判定
01
几何法：利用圆心到直线的距离判断位置关系。
设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R,则：
相离：d>R,
相切：d=R,
相交：d<R.
02
代数法：利用方程组解的个数。
设直线l：Ax By C=0,
圆M：x2 y2 Dx Ey F=0.
联立方程组，得：
相离：(
<0)方程组无解
相切：(
=0)方程组有两组相同解
相交：(
>0)方程组有两组不同解
(其中，△为消元后一元二次方程判别式.)
典例展示
直线与圆相离
相离产生距离，距离远近猜一猜。
一般而言，直线与圆相离时，会产生距离。
由圆心M向直线引垂线，垂足为T，则：
圆周上点到直线的最大距离d=MT R
圆周上点到直线的最大距离d=MT-R
典例展示
直线与圆相切
相切产生垂直，垂直易得距离。
是不是你的老师都会告诉你：但凡遇到圆的切线条件，连接切点和圆心得垂直关系，总是不会错的。
确实，直角三角形，一直在平面几何中占据着非常重要的地位的。
由圆外一点向圆引切线，切点为A,则线段PA的长度称为切线长。
若圆的方程为：
圆外的点P的坐标为：
由图中的关系可以看出：
则可得切线长公式：
这个切线长公式，总是有不少同学理解不了。
其实作为老师来说，我倒是不太清楚他们总是理解不了的原因。
如果圆用一般方程来表示，
那这个切线长为：
当然，切线的方程的求法更是不容忽视的，一定一定要熟悉它的求法哦！
能否也思考下：
如果点在圆内时，相似的结论又该怎么理解呢？
例题展示
切‖线‖问‖题
切线求法
已知定点或已知斜率求切线方程，
主要有两种方法：
① 代数法：
由圆和直线方程联立所得方程组有两组相同解，一般消元后用△=0求得未知参数；
② 几何法：
用圆心到切线的距离等于圆的半径求得未知参数。
几点提醒：
① 过圆外一点可做两条切线；
② 设直线方程时，要考虑斜率是否存在；
③ 若点在坐标轴上，直线方程设成：
横截距式(x=my a) 或 纵截距式(y=kx b)
此时可一定程度上优化计算过程；
④ 若点P(x0,y0)不在坐标轴上，
可考虑用直线系设直线方程：
A(x-x0) B(y-y0)=0
最大优势是不需要考虑直线斜率是否存在的情况。
两个结论：
① 若P(x0,y0)在圆x2 y2 Dx Ey F=0外，
切线长为：
② 若P(x0,y0)在圆x2 y2 Dx Ey F=0上，
切线方程为：
记忆口诀：
平方变成积
一次方变成平均数
常数项不变
③若点P(x0,y0)在圆x2 y2 Dx Ey F=0外，
则切点弦方程为：
这个是不是很玄幻呢？
其实，你是可以根据例9的“分析三”，慢慢去理解的。
不过真的希望同学能记住这种思路，在圆锥曲线中也是有用的。
直线与圆相交
相交产生弦，垂径定理很重要。
直线与圆的相交，会产生一条弦。
其实如果你是个有心人，一定会发现，但凡是直线与圆相交的问题，好象都与弦的长度有一定的关系
。
那就不能不说一下最好的垂径定理了。
取弦AB的中点T，连接CT，则有CT⊥AB。
因此，在RT
ATC中，总有：
则弦AB的长即为：
当然，CT这个点到直线的距离公式就不能忘了。
过圆内一点做圆的弦
过圆外的一点可以做圆的两条切线。
那么，过圆内的点，就只能做圆的弦了。
最长的弦肯定是圆的直径。
那么，你知道最短的那一条弦是谁么？
根据前面的弦长公式知道：AT2=R2-CT2,
那么，当CT最大时，弦AB=2AT便能取得最小值了。
若圆的方程为：
圆内的点M的坐标为：
我说最短弦长为:
你知道是为什么吗？
如果圆用一般方程来表示，那这个最短弦长为：
记起来也很容易，根号下其实就是把点的坐标代入而已。
典例展示
弦长公式
上面的弦长公式，务必要记住，
因为它适用于直线与所有二次曲线相交的弦长计算，
相信在圆锥曲线中，你会经常遇到的。
END
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