三角不等式
（0）最近几个月讲了很多不等式的知识。什么柯西-施瓦尔兹不等式、排序不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式、杨格不等式、赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式、内斯比特不等式、外森比克不等式、费恩斯列尔-哈德维格尔不等式、卡尔松不等式，还讲了一些具体但很奇特的不等式。很丰富！但仍然还有很多不等式没有讲到。今天来讲一讲三角不等式，这是很基本的不等式。因为它的简单，反而以前忽视了。今天就借着一个具体题目把三角不等式介绍一下。
（1）设三角形的三条边长度分别为a,b,c，则
a ＋b>c， b ＋c>a， c ＋a>b，······①
即三角形两边之和大于第三边。其实，a，b，c三个长度中，肯定有一个最大的（当然其他两个当中也有可能有一个甚至两个也与它相等），不妨设这个最大的为a。那么①式中的第一和第三个不等式肯定成立。所以， ①式也说等价于第二个成立。可以打个简单直观的比喻：有一个“三节棍”，若它的两端怎么挨都挨不上，或者是将将挨得上，则它 的三个“节”构不成一个三角形。三角不等式很简单，很容易理解。
（2）把上面的不等式变形为
a > c－b， b > a－c， c > b－a 。
以上式第一个不等式为例。因为有可能c>b，也有可能c<b，所以，上式第一个不等式可以统一写为绝对值不等式a>| c－b|或 a>|b－c|。同理有另外两个类似的绝对值不等式，所以我们就得到三角不等式(1)的第一个等价形式：
a>|b－c|， b>|c－a|， c>|a－b|。 ······②
同样可以用“三节 棍”做比喻。把“三节 棍”中间一节和边上某一节紧靠在一起，那么两者的长度差就很明显。于是，若第三节比这个差值小或相等，则三节 棍不可能构成三角形。只有在第三节大于前两节的差的绝对值时，才能够构成三角形。若 用数学语言表示， 设第一、二节的长度分别为a与b，第三节的长度为c，则c >|a－b| 。
（3）三角不等式的第二个等价形是：
（a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b) >0。······③
从 ①到 ③是显然的。下面证从 ③到 ①。 ③式左侧三个因子要么都为正，则 ①成立；要么一正两负，不妨假设第一个为正而后两个为负，后两个为负就是 b＋c－a<0和 c＋a－b<0，把这两个不等式相加得：2c<0，但这是不可能的。所以，我们便证得了 ③式与 ①式等价。
（4）下面是第三个等价形式：可以找到三个正数x,y,z，使得
a=y+z，b=z+x，c=x+y。 ······④
先证从到 ①到 ④成立。画一个三角形，其三边长度分别为a,b,c。作其内切圆，内切圆圆心为I，三个切点分别为D、E、F。三个顶点A、B、C到三个切点的距离分别为x、y、z。如下图所示。
所以 ④式就是显然的了：
a=y+z，b=z+x，c=x+y。······④
反之，若存在三个正数x、y、z，使得 ④式成立，那么把其中前两个等式相加，便得到
a+b= y+z +z+x= x+y +2z> x+y=c，
即a+b>c。类似地可证b＋c>a， c＋a>b。所以①式成立。
以上我们就给出了三角不等式及它的三个等价形式。
下面举个应用三角不等式的例子。
一个水平桌面上摆放着80个钟表 ，它们都指示着相同的时间（可以是完全不同的钟表，但一定是要有指针的钟表；可以平放，可以立放，也可以倒放甚至扣着放，即怎么摆放都可以）。证明一定存在某一时刻，在这一时刻，所有钟表分针末端到桌面中心的距离之和大于所有钟表表心到桌面中心距离之和。
证明：设桌面中心为O。对第i个钟表来说，设它的分针末端为Ai，表的中心为Mi。再设Ai关于Mi的对称点为Bi。那么，以线段O Ai和线段O Bi为相邻两边可以构造一个平行四边形AiOBiCi，如上图所示。而O Mi为这个平行四边形过点O的对角线O Ci的一半。我们高中学习向量知识时学过向量相加的平行四边形法则和三角形法则，其实两者是一致的——把起点重合的两个向量中的一个平移到它的对边，这样两个向量就成为“首尾相连”的。从而平行四边形法则就转化为三角形法则。于是，在这里，考虑三角形OAiCi。由前面介绍过的三角不等式，便得到 OA i+ OB i>2 OM i。上式对任意一个钟表都是成立的，也就是说对i=1,2,3,··· ,80，不等式都成立。把这80个不等式相加，得到：
左侧两项中，总会有一项大于右侧的一半。左侧第一项就是题目中“ 所有钟表分针末端到桌面中心的距离之和”。又因为所有钟表指示的都是相同的时间，所以，所有钟表分针末端都会在某一时刻同时走到B i点。这就说明上面不等式左侧第二项也是 “所有钟表分针末端到桌面中心的距离之和”。而上面不等式右侧的一半正是“ 所有钟表表心到桌面中心距离之和”。从而不管两项中哪一项大于右侧的一半，我们都证明了本题的正确性。
问题中“80个”钟表是随便取的，50个也行，1000个也行。